Charakterystyka

Test zgodności chi-kwadrat jest to najczęściej stosowany test nieparametryczny. Służy on do weryfikowania hipotezy, że obserwowana cecha X w zbiorowości generalnej ma określony typ rozkładu, np. dwumianowy, Poissona, normalny itd.

Przykłady formułowania hipotezy:

• H0 : cecha X ma rozkład określony dystrybuantą F(x) = F0(x)
• H0 : cecha X ma rozkład N(100 , 5)

Aby jednoznacznie określić rozkład teoretyczny w danej klasie najczęściej należy najpierw na podstawie próby oszacować odpowiednie parametry.

Test zgodności chi-kwadrat stosuje się:

• gdy dane pochodzą z dużej n-elementowej próby wyznaczonej w sposób niezależny
• gdy dane są przedstawione w postaci szeregu rozdzielczego o r przedziałach klasowych, o liczebnościach przedziałów n, ..., n spełniających warunek

n1 + n2 + ... + nr n. Na ogół przyjmuje się, że ni >5, i 1, 2, ..., r

• gdy rozkład hipotetyczny może być zarówno rozkładem typu ciągłego, jak i skokowego.

Postać statystyki sprawdzającej hipotezy H0:

<math>{\chi}^2\sum_{i1}^r\frac{\left(ni-npi\right)^2}{npi}</math>

gdzie:

• pi - prawdopodobieństwo, że cecha X przyjmuje wartość należącą do i-tego przedziału klasowego
• npi - liczba jednostek, które powinny znaleźć się w i-tym przedziale przy założeniu, że cecha ma rozkład zgodny z hipotezą.

statystyka ta ma rozkład <math>{\chi}^2</math> o k=(r-s-1)

</div>

• gdzie:
• k - ilość stopni swobody
• s - liczba parametrów do wyznaczenia na podstawie próby
• r - liczba przedziałów klasowych

<math>{\chi}^2</math> oznacza wartość empiryczną statystyki

Statystka ta stanowi rozbieżność pomiędzy rozkładem empirycznym a teoretycznym, co oznacza że zbyt duże wartości <math>{\chi}^2</math> powodują odrzucenie hipotezy zerowej.

Postać zbioru krytycznego:

<math>P({\chi}^2>{\chi}_{\alpha}^2)= {\alpha}</math>

Gdzie:

<math>{\chi}_{\alpha}^2</math> - wartość krytyczna z tablic rozkładu <math>{\chi}^2</math> dla k r - s - 1 stopni swobody i P alfa

Reguły decyzyjne:

- jeśli wartość <math>{\chi}_r,0^2</math> - spełnia nierówność:

<math>{\chi}_{r,0}^2\le{\chi}_{r,1-{\alpha}/2}^2</math>

albo nierówność:

<math>{\chi}_{r,0}^2\ge{\chi}_{r,{\alpha}/2}^2</math>

to odrzuca się hipoteze alternatywną: <math>\sigma^2=\sigma_0^2</math> na korzyść hipotezy:<math>\sigma^2\ne\sigma_0^2</math>

Autor: Magdalena Klepaczka
Źródło: Encyklopedia Zarządzania
Treść udostępniana na licencji GNU licencja wolnej dokumentacji 1.3 lub nowsza.