Ocena brak

RACHUNEK KWANTYFIKATORÓW (rachunek predykatów, rachunek fun­kcyjny)

Autor /truchtacz Dodano /12.11.2012

 

RACHUNEK KWANTYFIKATORÓW (rachunek predykatów, rachunek fun­kcyjny) ang. quantification logie

log. Teoria logiczna, w której przyjmuje się wszystkie terminy i twierdzenia —> ra­chunku zdań, a ponadto wprowadza się, jako specyficzne dla niej symbole stałe, tzw. kwantyfikatory. Są one odpowiedni­kami potocznych słów „każdy" (—> kwantyfikator /a/ ogólny, czyli duży) i „pe­wien" (—>kwantyfikator/b/szczegółowy, czyli mały). Symbole zmierme (—> zmien­na) rachunku kwantyfikatorów dzielą się na zmierme indywidualne, reprezentujące nazwy -> indywiduów (2a), oraz zmierme predykatowe, reprezentujące predykaty (tj. wyrażenia odnoszące się do własności indywiduów i do relacji między indywi­duami).

Język rachunku kwantyfikatorów po­zwala badać nie tylko te związki, które są uwarunkowane budową zdań złożonych (co jest ograniczeniem cechującym ra­chunek zdań), ale i związki, jakie zachodzą między wyrażeniami zdań prostych ze względu na ich wewnętrzną budowę. Niech np. x będzie zmienną indywidual­ną, a Q — zmienną predykatową; wtedy jedną z zależności między pewnym ro­dzajem zdania ogólnego a pewnym ro­dzajem zdania szczegółowego wyrazi for­muła: Ax Q{x) -^ Vx Q(x) — czyt: Jeżeli dla każdego x Q{x), to istnieje takie x, że Q(x). Pewne zależności, w których wystę­puje negacja, ujmują tzw. prawa De Mor­gana: ~Vx Q{x) —> Ax ~Q{x) — czyt.: Jeśli nieprawda, że istnieje takie x, że Q{x), to dla każdego x: nieprawda, że Q(x); oraz: ~Ax Q{x) -^ Vx ~Q{x). Na przykład inter­pretując Q jako predykat „jest geniuszem", a jako zakres zmiennej x przyjmując zbiór ludzi, otrzymamy zdanie: „Jeśli nieprawda, że istnieje człowiek będący geniuszem, to o żadnym człowieku nie jest prawdą twierdzenie, że jest geniuszem" (krócej: „Jeśli nie istnieją geniusze, to nikt nie jest geniuszem").

Powyższe wyrażenia, jako prawdziwe przy każdej interpretacji zmiennych, są przykładem -^ tautologii (1) rachunku kwantyfikatorów. Podobnie jak tautologie rachunku zdań, dostarczają one schema­tów wnioskowania dedukcyjnego, a oba rachunki łącznie, tworzące tzw. klasyczny —> rachunek logiczny, wystarczają do ana­lizy wszystkich wnioskowań, jakie wystę­pują w matematyce. Teoria kwantyfikato­rów wchodząca w skład klasycznego ra­chunku logicznego nazywa się rachun­kiem pierwszego rzędu; rachunek taki od­znacza się tym, że kwantyfikatory odno­szą się w nim tylko do zmiennych indywi­dualnych, a nie do zmiennych predykatowych. Rachunki, w których pod kwantyfikatorami występują również zmienne predykatowe, nazywają się rachunkami wyż­szych rzędów. Dla rachunku kwantyfikatorów nie ma takiej uniwersalnej metody, która pozwoliłaby w skończonej ilości kro­ków rozstrzygnąć o każdym wyrażeniu, czy jest lub nie jest tautologią.

Początki rachunku kwantyfikatorów, po­dobnie jak rachunku zdań, przypadają na 2. poł. XIX w., kiedy pojawiła się potrzeba ściślejszego niż przedtem formułowania twierdzeń matematycznych. Tradycyjny -^ rachunek nazw, zawierający -^ sylogistykę, okazuje się niewielkim fragmentem rachunku kwantyfikatorów, co staje się wi­doczne, gdy prawa tradycyjnego rachunku, zapisane w specyficznym dla niego języku, przełoży się na język rachunku kwantyfika­torów.

 

RACHUNEK PREDYKATÓW ang. calculus ofpredicates, predicate calculus; fr. calcul des predicats; nm. Pradikatenkalkiil, Predikatenlogik log. syn.^> Rachunek kwantyfikatorów.

Do góry