Ocena brak

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA

Autor /barbara Dodano /26.03.2011

Wymagany Adobe Flash Player wesja 10.0.0 lub nowsza.

praca w formacie txt ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA

Transkrypt

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA
POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ
Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa:





zdarzenie losowe,
zdarzenie elementarne,
prawdopodobieństwo,
zbiór zdarzeń elementarnych.

Def. Niech E będzie zbiorem zdarzeń elementarnych danego
doświadczenia. Funkcję X(e) przyporządkowującą każdemu
zdarzeniu elementarnemu e∈E jedną i tylko jedną liczbę X(e)=x
nazywamy zmienną losową.
Przykład
Rozpatrujemy doświadczenie polegające na rzucie symetryczną
monetą. Wynikiem tego doświadczenia mogą być zdarzenia
"pojawienie się orła" albo "pojawienie się reszki" tworzące zbiór
zdarzeń elementarnych.
Na zbiorze zdarzeń elementarnych określamy zmienną losową X w
sposób następujący:
X (orzeł) = 1;

X (reszka) = 0

Zmienna losowa X przyjmuje wartość ze zbioru {0,1}. Ponieważ
zdarzenia "pojawienie się orła" i "pojawienie się reszki" realizują się
z prawdopodobieństwami równymi 1/2, można zapisać:
P(X=1) = P{orzeł} = 1/2,
P(X=0) = P{reszka} = 1/2.
TYPY ZMIENNYCH LOSOWYCH

Def. Zmienna losowa X jest typu skokowego, jeśli może przyjmować
skończoną lub nieskończoną, ale przeliczalną liczbę wartości.
Wartości zmiennej losowej skokowej (określane często jako punkty
skokowe) będziemy oznaczać przez x1, x2,..., natomiast
prawdopodobieństwa, z jakimi są one realizowane (określane jako
skoki), oznaczamy przez p1, p2,...

Def. Zmienna losowa X jest typu ciągłego, jeśli jej możliwe wartości
tworzą przedział ze zbioru liczb rzeczywistych.
Dla zmiennej losowej typu ciągłego możliwe jest określenie
prawdopodobieństwa, że przyjmuje ona wartość należącą do
dowolnego zbioru jej wartości. Sposób rozdysponowania całej
"masy" prawdopodobieństwa (równej 1) pomiędzy wartości, jakie
przyjmuje dana zmienna losowa, określamy mianem jej rozkładu
prawdopodobieństwa.

ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ SKOKOWEJ
Założenia:

• zmienna losowa X typu skokowego przyjmuje wartość x1, x2,... z

prawdopodobieństwami, odpowiednio p1, p2,... ,
• prawdopodobieństwa p1, p2,... spełniają równość:
n

∑ pi = 1,

(1)

i =1

gdy zmienna losowa X przyjmuje skończoną liczbę n wielkości,

• prawdopodobieństwo p1, p2,... spełniają równość:


∑ pi = 1,

(2)

i =1

gdy zmienna losowa X przyjmuje nieskończoną liczbę wartości.

Def. Zbiór prawdopodobieństw postaci:
P( X = xi ) = pi

( i = 1,2,...)

spełniających równość (1) lub (2) określamy mianem funkcji
prawdopodobieństwa zmiennej losowej X typu skokowego.
Funkcję prawdopodobieństwa można przestawić tabelarycznie w
poniższy sposób (przy założeniu, że zbiór wartości zmiennej losowej
jest skończony):
xi
pi

x1
p1

x2
p2

...
...

xn
pn

Przykład
Funkcję prawdopodobieństwa
poniższa tabela:
xi
pi

0
1/8

1
3/8

zmiennej

2
3/8

3
1/8

Wykres funkcji prawdopodobieństwa x
p
3/8

.

.

losowej

przedstawia

1/8 .
0

.
1

2

3

x

3

x

Dystrybuanta zmiennej losowej x
F(x)
1
7/8
4/8
1/8
0

1

2

Def. Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F(x)
określoną na zbiorze liczb rzeczywistych jako:
F ( x ) = P( X ≤ x )



Dla zmiennej losowej X skokowej, która przyjmuje wartości x1,
x2,... z prawdopodobieństwami p1, p2, ..., dystrybuanta ma postać:
F ( x) =



∑ P( X = xi ) = ∑ pi

xi ≤ x

( − ∞ < x < ∞)

xi ≤ x

Dystrybuantą F(x) zmiennej losowej X skokowej można zapisać
też następująco (zakładamy, że zbiór wartości zmiennej losowej
jest skończony oraz że został on uporządkowany według
wzrastających wartości):

0
p
 1
 p1 +

.
F ( x) 
.
.

 p1 +
1


dla
dla
dla

p2

<


x1
x

xn −1 ≤
x


x
xn

x
x1

<

x2

<

xn

.
.
.
p2

+ ... +

pn −1 dla
dla

Podstawowe własności dystrybuanty zmiennej losowej skokowej:







0 ≤ F ( x ) ≤ 1,
lim F ( x ) = 0

x→−


oraz

lim F ( x ) = 1,

x → +∞

F ( x ) jest funkcją niemalejącą (dla x1

Podobne prace

Do góry