Ocena brak

Zasada zachowania pędu II

Autor /vanessa Dodano /07.03.2011

Wymagany Adobe Flash Player wesja 10.0.0 lub nowsza.

praca w formacie pdf Zasada zachowania pędu II

Transkrypt

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 10
10. Zasada zachowania pędu II
10.1

Układy o zmiennej masie

Dotychczas zajmowaliśmy się układami o stałej masie. Obecnie zajmiemy się układami, których masa zmienia się podczas obserwacji.
Przykładem niech będzie rakieta. Wyrzuca ona ze swej dyszy gorący gaz z dużą
prędkością, zmniejszając w ten sposób swoją masę i zwiększając prędkość (rysunek poniżej).

vs

dms

v
m

Spaliny opuszczają silnik rakiety ze stałą prędkością vs względem Ziemi. Prędkość
chwilowa rakiety względem Ziemi jest równa v, zatem prędkość spalin względem rakiety vwzg. jest dana zależnością
vwzgl = vs – v

(10.1)

Jeżeli w pewnym przedziale czasowym dt z rakiety wyrzucona zostaje masa dms z prędkością v0 to masa rakiety maleje o dm a jej prędkość rośnie o dv, przy czym
d ms
dm
=−
dt
dt

(10.2)

Obliczmy teraz całkowitą szybkość zmian pędu P układu
d P d p rakiety d p spalin
=
+
dt
dt
dt
d ms
d P d(mv )
=
+vs
dt
dt
dt
d ms
dP
dv
dm
=m
+v
+vs
dt
dt
dt
dt

(10.3)

Równanie to uwzględnia fakt, że w przypadku rakiety zmienia się zarówno jej masa jak
i prędkość podczas gdy spaliny są wyrzucane ze stałą prędkością. Zmiana pędu układu
jest zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona równa sile zewnętrznej działającej na układ.
10-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Uwzględniając zależności (10.1) i (10.2) możemy przekształcić równanie (10.3) do postaci
d ms
dp
dv
Fzew =
=m
+ v wzgl
(10.4)
dt
dt
dt
Ostatni wyraz w równaniu (10.4) może być interpretowany jako siła wywierana na
układ przez substancję (spaliny), która z niego wylatuje. W przypadku rakiety nosi ona
nazwę siły ciągu.
Jeżeli ruch rakiety odbywa się w przestrzeni kosmicznej to siły zewnętrzne Fzew są
do zaniedbania i wtedy zmiana pędu rakiety jest równa sile ciągu. Jeżeli jednak ruch
odbywa się w pobliżu Ziemi (np. tuż po starcie) to wówczas Fzew reprezentuje ciężar
rakiety i siłę oporu atmosfery i trzeba ją uwzględnić. Konstruktorzy rakiet starają się
uzyskać jak największą siłę ciągu aby przezwyciężyć Fzew. Np. rakieta Saturn 5 o masie
ponad 3 mln kg wytwarzała przy starcie ciąg 40 MN.
Obliczmy siłę ciągu dla rakiety o masie 15000 kg, która po spaleniu paliwa waży 5000
kg. Szybkość spalania paliwa wynosi 150 kg/s, a prędkość wyrzucania gazów względem rakiety jest równa 1500 m/s.
F = v wzgl
więc

dM
dt

F = 1500 m/s·150 kg/s = 2.25·105 N

Zwróćmy uwagę, że początkowo (rakieta z paliwem) siła działająca na rakietę skierowana ku górze jest równa sile ciągu 2.25·105 N minus ciężar rakiety (1.5·105 N). Po zużyciu paliwa wynosi 2.25·105 N - 0.5·105 N = 1.75·105 N.
10.2

Zderzenia

10.2.1 Wstęp
Co rozumiemy poprzez zderzenie?
Siły działające przez krótki czas w porównaniu do czasu obserwacji układu nazywamy siłami impulsowymi. Takie siły działają w czasie zderzeń np. uderzenie piłki o
ścianę czy zderzenie kul bilardowych. Ciała w trakcie zderzenia nie muszą się "dotykać", a i tak mówimy o zderzeniu np. zderzenie cząstki alfa (4He) z jądrem jakiegoś
pierwiastka (np. Au). Wówczas mamy do czynienia z odpychaniem elektrostatycznym.
Pod zderzenia możemy podciągnąć również reakcje. Proton w trakcie zderzenia z jądrem może wniknąć do niego. Wreszcie możemy rozszerzyć definicję zderzeń o rozpady cząstek np. cząstka sigma rozpada się na pion i neutron: Σ = π- + n.
Wszystkie te "zdarzenia" posiadają cechy charakterystyczne dla zderzeń:
• można wyraźnie rozróżnić czas "przed zderzeniem" i "po zderzeniu"
prawa zachowania pędu i energii pozwalają zdobyć wiele informacji o procesach na
podstawie tego co "przed zderzeniem" i tego co "po zderzeniu" mimo, że niewiele wiemy o siłach "podczas" zderzenia.

10-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

10.2.2 Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej
Wprawdzie często nie znamy sił działających podczas zderzenia ale wiemy, że musi
być spełniona zasada zachowania pędu (siły zewn. = 0), oraz zasada zachowania energii
całkowitej. Wobec tego nawet nie znając szczegółów oddziaływania można w wielu
przypadkach stosując te zasady przewidzieć wynik zderzenia.
Zderzenia klasyfikujemy zwykle na podstawie tego, czy energia kinetyczna jest zachowana podczas zderzenia czy też nie. Jeżeli tak to zderzenie nazywamy sprężystym, jeżeli nie to niesprężystym.
Jedyne prawdziwe zderzenia sprężyste (chociaż nie zawsze) to zderzenia między
atomami, jądrami i cząsteczkami elementarnymi. Zderzenia między ciałami są zawsze
w pewnym stopniu niesprężyste chociaż czasami możemy je traktować w przybliżeniu
jako sprężyste. Kiedy dwa ciała po zderzeniu łączą się mówimy, że zderzenie jest całkowicie niesprężyste. Np. zderzenie między pociskiem i drewnianym klockiem gdy pocisk wbija się w klocek.
Rozpatrzmy teraz zderzenie sprężyste w przestrzeni jednowymiarowej. Wyobraźmy
sobie dwie gładkie nie wirujące kule, poruszające się wzdłuż linii łączącej ich środki.
Masy kul m1 i m2, prędkości przed zderzeniem v1 i v2 a po zderzeniu u1 i u2 tak jak na
rysunku poniżej.

m1

v1

m2

v2

m1

u1

m2

u2

Z zasady zachowania pędu otrzymujemy
m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2

(10.5)

Ponieważ zderzenie jest sprężyste to energia kinetyczna jest zachowana (zgodnie z definicją). Otrzymujemy więc
2
2
m1v 12 m2v 2 m1u12 m2 u 2
+
=
+
2
2
2
2

(10.6)

Przepisujemy równanie (10.5) w postaci
m1(v1 - u1) = m2(u2 - v1)

(10.7)

2
2
m1 (v 12 − u12 ) = m2 (u 2 − v 2 )

(10.8)

a równanie (10.6) w postaci

10-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Dzieląc równanie (10.8) przez równanie (10.7) otrzymamy w wyniku (przy założeniu
v1 ≠ u1 i v2 ≠ u2)
v1 + u1 = v2 + u2
a po uporządkowaniu
v1 - v2 = u2 - u1

(10.9)

Równanie to mówi nam, że w opisanym zderzeniu względna prędkość zbliżania się cząstek przed zderzeniem jest równa względnej prędkości ich oddalania się po zderzeniu.
Mamy do dyspozycji trzy równania (10.7), (10.8) i (10.9), a chcemy znaleźć u1 i u2.
Wystarczą więc dowolne dwa. Biorąc dwa liniowe równania (10.7) i (10.9) obliczmy
 m − m2
u1 =  1
m +m
2
 1

 2m 2

v 1 + 
m +m

2
 1



v 2



(10.10)

 2m1
u2 = 
m +m
2
 1

 m − m1 

v 1 +  2
 m + m v 2


2 
 1


(10.11)

oraz

Rozpatrzmy kilka interesujących przypadków:
• m1 = m2
u1 = v2
wtedy
czyli cząstki wymieniły się prędkościami.

oraz

u2 = v1

• v2 = 0
wtedy
 m − m2
u1 =  1
m +m
2
 1


v 1



oraz

 2m1
u2 = 
m +m
2
 1


v 1



• jeżeli jeszcze dodatkowo m1 = m2
u1 = 0
u2 = v1 (wymiana prędkości)
wtedy
oraz


natomiast gdy m2 >> m1 to wtedy:
u1 ≅ – v1
u2 ≅ 0
oraz
Taka sytuacja zachodzi np. przy zderzeniu cząstki lekkiej z bardzo ciężką (spoczywającą) np. piłka uderza o ścianę.


wreszcie sytuacja odwrotna m2

Podobne prace

Do góry