Ocena brak

Zasada zachowania pędu

Autor /vanessa Dodano /07.03.2011

Wymagany Adobe Flash Player wesja 10.0.0 lub nowsza.

praca w formacie pdf Zasada zachowania pędu

Transkrypt

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 9
9. Zasada zachowania pędu
9.1 Środek masy
Dotychczas przedmioty traktowaliśmy jak punkty materialne, tzn. cząsteczki bezwymiarowe (objętość = 0) obdarzone masą co wystarczało w przypadku ruchu postępowego bo ruch jednego punktu odzwierciedlał ruch całego ciała.
W ogólnym przypadku ruch układu cząsteczek może być bardzo skomplikowany np.
ciało może wirować lub drgać.
• w trakcie ruchu cząsteczki mogą zmieniać swoje wzajemne położenie.
Przykład ciała wirującego jest pokazany na rysunku poniżej.

Zauważmy, że istnieje w tym układzie jeden punkt, który porusza się po linii prostej
ze stałą prędkością. Żaden inny punkt nie porusza się w ten sposób. Ten punkt to środek
masy. Zajmiemy się ruchem tego punktu.
Zacznijmy od przypomnienia pojęcia średniej ważonej. W tym celu rozważmy prosty
układ, w którym mamy do czynienia z dwoma skrzynkami zawierającymi np. jabłka
o różnej masie. W jednej mamy n1 jabłek, każde o masie m1, w drugiej n2, każde o masie m2. Spróbujmy policzyć jaka jest średnia masa jabłka.
mśred. =

n1
n2
m1 +
m2
n1 + n2
n1 + n2

czyli
mśred. =

n1m1 + n2 m2
n1 + n2

To jest średnia ważona (wagami są ułamki ilości jabłek w skrzynce). Uwzględniamy
w ten sposób fakt, że liczby jabłek nie są równe.
Natomiast środek masy jest po prostu średnim położeniem przy czym masa jest czynnikiem ważącym przy tworzeniu średniej.
Np. dla dwóch różnych mas m1 i m2

9-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

y


rm
m1

m2

x1

x

x2

x śrm =

m1
m2
x1 +
x2
m1 + m2
m1 + m2

czyli
x śrm =

m1 x1 + m2 x 2
m1 + m2

Dla n mas leżących wzdłuż linii prostej otrzymamy
n

x śrm

m x + m2 x 2 + ..... + mn x n
= 1 1
=
m1 + m2 + ..... + mn

∑m x
i =1
n

i

∑m
i =1

n

ponieważ suma

∑m
i =1

i

i

i

= M jest całkowitą masą układu to możemy zapisać
n

Mx śrm = ∑ mi xi
i =1

Gdyby punkty nie leżały na jednej prostej to wówczas środek masy znajdziemy postępując dla każdej ze współrzędnych analogicznie jak powyżej.
Otrzymamy więc
n

x śrm

m x + m2 x 2 + ..... + mn x n
= 1 1
=
m1 + m2 + ..... + mn

∑m x
i =1
n

i

∑m
i =1

i

i

oraz
n

y śrm

m y + m2 y 2 + ..... + mn y n
= 1 1
=
m1 + m2 + ..... + mn

∑m y
i =1
n

i

∑m
i =1

i

i

9-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Zwróćmy uwagę, że układ dwóch równań skalarnych można zastąpić przez jedno zwięzłe równanie wektorowe
n

rśrm =

∑m r
i =1

i i

(9.1)

M

Uogólnienie na trzy wymiary jest automatyczne.
Zauważmy, że środek masy układu punktów materialnych zależy tylko od mas tych
punktów i od wzajemnego ich rozmieszczenia (nie zależy od wyboru układu odniesienia).
Przykład 1
Znaleźć środek masy układu trzech cząstek o masach m1 = 1kg, m2 = 2kg i m3 = 3kg,
umieszczonych w rogach równobocznego trójkąta o boku 1m.
Ponieważ wynik nie zależy od wyboru układu odniesienia to możemy przyjąć układ tak
jak na rysunku.

m3

3
2

m1

½

m2

x

xśrm = (m1x1 + m2x2 + m3x3)/M = (1kg·0m + 2kg·1m + 3kg·0.5m)/6kg = 7/12m
3
3
yśrm = (m1y1 + m2y2 + m3y3)/M = (1kg·0m + 2kg·0m+3kg·
m)/6kg =
m
4
2
Uwaga: położenie środka masy nie pokrywa się z geometrycznym środkiem.
Przedyskutujmy teraz fizyczne znaczenie środka masy.
9.2 Ruch środka masy
Rozważmy układ punktów materialnych o masach m1, m2, m3 ..., mn i o stałej całkowitej masie M. Na podstawie równania (9.1) możemy napisać
Mrśrm = m1r1 + m2r2 +.......+ mnrn
gdzie rśrm jest środkiem masy w określonym układzie odniesienia. Różniczkując (względem czasu) powyższe równanie otrzymamy
M

d rśrm
dr
dr
dr
= m1 1 + m2 2 + ...... + mn n
dt
dt
dt
dt

9-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

lub
Mvśrm = m1v1 + m2v2 +.....+ mnvn
Jeżeli ponownie zróżniczkujemy otrzymane powyżej równanie to otrzymamy
M

d v śrm
dv n
dv1
dv 2
= m1
+ m2
+ ...... + mn
dt
dt
dt
dt

lub
Maśrm = m1a1 + m2a2 + .......+ mnan
czyli
Maśrm = F1 + F2 + ...........+ Fn
Wobec tego możemy napisać
Maśrm = Fzew

(9.2)

Z równania (9.2) wynika, że środek masy układu punktów materialnych porusza się w
taki sposób, jakby cała masa układu była skupiona w środku masy i jakby wszystkie siły
zewnętrzne nań działały.
To twierdzenie obowiązuje dla każdego układu punktów materialnych.
• Układ może być ciałem sztywnym (punkty mają stałe położenia względem siebie).
Wtedy przy obliczeniach środka masy sumowanie zastępujemy całkowaniem.
• Układ może być zbiorem cząsteczek, w którym występują wszystkie rodzaje ruchu
wewnętrznego.
Uwaga:
Gdy siłą zewnętrzną jest siła ciężkości to wtedy działa ona na środek ciężkości. W rozważanych przypadkach te dwa środki się pokrywają.
Pojęcie środka masy jest bardzo użyteczne np. do obliczania energii kinetycznej. Obliczmy Ek mierzone w układzie środka masy.
E k ,calkowita =

∑m v
i

2

2
i

=

∑ m (v
i

śrm

+ v i ,wzg )(v śrm + v i , wzg )
2

gdzie vwzgl jest prędkością mierzoną w układzie środka masy. Wykonując mnożenie
skalarne otrzymamy
E k ,calkowita =

∑m

i

2
v śrm + v śrm ∑ mi v i , wzg +

∑m v
i

2
i , wzg

2
2
Ponieważ (jak pokazaliśmy wcześniej) wyraz drugi równa się iloczynowi M razy prędkość środka masy (Mvśrm = m1v1 + m2v2 +.....+ mnvn). W układzie środka masy, w którym mierzymy, vśrm = 0 więc drugi wyraz znika.
Zatem
2
Mv śrm
E kcalkowita =
+ E k'
2
9-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

gdzie Ek' jest energią kinetyczną mierzoną w układzie środka masy. Dla ciał sztywnych
to równanie przyjmuje postać
E kcalkowita =

2
Mv śrm
'
+ E rot
2

gdyż w układzie środka masy ciało sztywne może mieć tylko energię rotacyjną (obrotową).
Przykład 2
Obręcz o masie m toczy się po płaszczyźnie tak, że środek obręczy ma prędkość v.

v

Jaka jest energia kinetyczna obręczy ?
2

E kcalkowita

mv 2 mv rot ,wzg
=
+
2
2

gdzie vrot,wzg to prędkość obręczy w układzie środka masy. Ponieważ obserwator
w układzie środka masy widzi obręcz obracającą się z prędkością v więc vrot,wzg = v.
Stąd
mv 2 mv 2
E kcalkowita =
+
= mv 2
2
2
Zauważmy, że obręcz ma energię dwa razy większą od ciała o masie m poruszającego
się z tą samą prędkością v (ale nie obracającego się).
9.3 Pęd układu punktów materialnych
Zdefiniowaliśmy już pęd punktu materialnego jako iloczyn jego masy m i prędkości
v. Pokazaliśmy również, że II zasada dynamiki Newtona ma postać
F=

dp
dt

Przypuśćmy jednak, że zamiast pojedynczego punktu mamy do czynienia z układem n
punktów materialnych o masach m1, ......, mn. Zakładamy, że masa układu (M) pozostaje
stała. Każdy punkt będzie miał pewną prędkość i pewien pęd. Układ jako całość będzie
miał całkowity pęd P w określonym układzie odniesienia będący sumą geometryczną
pędów poszczególnych punktów w tym układzie odniesienia

9-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

P = p1 + p2 + ......... + pn
Jeżeli porównamy tę zależność z równaniem
Mvśrm = m1v1 + m2v2 +.....+ mnvn
to otrzymujemy
P = Mvśrm
Treść tego równania można wyrazić następująco: Całkowity pęd układu punktów materialnych jest równy iloczynowi całkowitej masy układu i prędkości jego środka masy.
Ponieważ Fzew = Maśrm, to II zasada dynamiki Newtona dla układu punktów materialnych przyjmuje postać
F zew =

dP
dt

(9.3)

bo
d v srm
dP
=M
= Ma srm
dt
dt
9.4 Zasada zachowania pędu
Przypuśćmy, że suma sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru. Wtedy na
podstawie równania (9.3)
dP
= 0 albo P = const .
dt
Zasada zachowania pędu: Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest
równa zeru, całkowity wektor pędu układu pozostaje stały.
Zobaczymy jak ta zasada stosuje się do różnych sytuacji fizycznych. Omówimy teraz
pojęcie sił zewnętrznych dla danego układu - jak wybrać układ i jak stosować zasadę
zachowania pędu.
Przykład 3
Rozważmy dwa ciała o masach mA i mB połączone nieważką sprężyną umieszczone
na doskonale gładkim stole. Odciągamy od siebie te ciała na pewną odległość, a następnie puszczamy swobodnie (rysunek).

Spróbujmy opisać ruch tych ciał.
Najpierw ustalamy z czego składa się rozważany układ. Przyjmujemy, że tworzą go
obie masy + sprężyna. Jeżeli tak to nie działa żadna siła zewnętrzna (działają siły po-

9-6

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

między elementami układu czyli siły wewnętrzne). Możemy teraz zastosować zasadę
zachowania pędu. Przed zwolnieniem ciał pęd układu (w odniesieniu do stołu) był równy zeru. I taki pozostaje po ich zwolnieniu. Chociaż ciała poruszają się ich pęd może
być równy zeru, ponieważ pęd będący wielkością wektorową jest sumą dodatniego pędu ciała A (porusza się w kierunku +x) i ujemnego pędu ciała B (porusza się w kierunku
-x). Z zasady zachowania pędu
pęd początkowy = pęd końcowy
0 = mAvA + mBvB
Zatem
mBvB = - mAvA
lub
vA = – mBvB/mA
Np. gdy mA = 2kg i mB = 1kg to vA jest równa połowie vB i ma zwrot przeciwny.
Przykład 4
Ta sama zasada obowiązuje w fizyce jądrowej i atomowej. Jako przykład rozpatrzmy
rozpad promieniotwórczy. Cząstka α (jądro atomu helu) emitowana jest z prędkością
1.4·107 m/s i z energią kinetyczną 4.1 MeV przez jądro uranu 238, pozostające początkowo w spoczynku. Znaleźć prędkość odrzutu powstałego jądra toru 234.
Jako układ rozpatrujemy jądro toru 234 + cząstkę α (przed rozpadem po prostu jądro
uranu 238). Ze względu na nieobecność sił zewnętrznych pęd układu, który przed rozpadem był równy zeru po rozpadzie pozostaje niezmieniony.
pęd początkowy = pęd końcowy
0 = Mαvα + MThvTh
więc

vTh = - Mαvα/MTh = - 4·1.4·107/234 = -2.4·105 m/s

9-7

Podobne prace

Do góry