Ocena brak

Statystyka - zmienne losowe i ich rozkłady

Autor /weronika Dodano /15.03.2011

Wymagany Adobe Flash Player wesja 10.0.0 lub nowsza.

praca w formacie pdf Statystyka - zmienne losowe i ich rozkłady

Transkrypt

















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

(wybrane zagadnienia)






zmienne losowe (definicja, podział, oznaczenia)
dystrybuanta, funkcja prawdopodobieństwa, funkcja gęstości
wybrane parametry rozkładu zmiennej losowej
standaryzacja zmiennej losowej
wybrane rozkłady zmiennych losowych
(normalny, chi-kwadrat, t-Studenta)
• wykorzystanie tablic statystycznych (odczytywanie informacji)

Je eli wartości zmiennej (cechy) są określone przez
przypadek (tzn. przyjmuje ona te wartości z określonymi
prawdopodobieństwami), to mówimy, e zmienna ta jest
zmienną losową.
Zmienne losowe dzielimy na:


ciągłe; zmienna przyjmuje dowolne wartości z określonego

przedziału (w szczególności cały zbiór liczb rzeczywistych)
• skokowe (dyskretne); zmienna przyjmuje dowolne
wartości ze zbioru przeliczalnego (np. zbiór liczb całkowitych
z określonego przedziału)

Oznaczenia (analogicznie jak przy cechach statystycznych):
• du e litery (X, T, U, ...) - zmienna losowa
małe litery (x, t, u, ...) - wartości zmiennej losowej

PRZYKŁAD
Rzucamy kostka sześcienną do gry.
Liczba wyrzuconych oczek jest zmienną losową (X).
Wynik ka dego rzutu jest wartością tej zmiennej (x).

{

}

.
Zbiór wartości zmiennej losowej jest następujący: x ∈
Zatem liczba wyrzuconych oczek jest zmienną losową skokową (dyskretną).



ZMIENNE LOSOWE i ich ROZKŁADY



Materiały do wykładu 8 ze Statystyki

 

















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

DYSTRYBUANTA

zmiennej losowej X
jest to funkcja zdefiniowana następująco

F (x ) = P( X ≤ x )

(czytamy: „Dystrybuanta dla konkretnej wartości zmiennej losowej
tj. dla X=x ) jest równa prawdopodobieństwu tego, e zmienna
losowa X będzie przyjmowała wartości nie większe ni konkretna
wartość x”.)

Własności dystrybuanty
a.
b.
c.

≤ F (x ) ≤
F (x ) jest niemalejąca
F (x ) =
x→−∞

,

x→+∞

F (x ) =

Zmienne losowe są opisywane za pomocą funkcji (rozkładów).
W zale ności od rodzaju zmiennej są to:
1. funkcja prawdopodobieństwa (zmienne losowe skokowe)
2. funkcja gęstości (zmienne losowe ciągłe)

Funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej

(

U podstaw tej funkcji le y uporządkowany zbiór par xi pi
xi - wartości jakie przyjmuje zmienna losowa X
pi - prawdopodobieństwa z jakimi przyjmuje ona wartości xi

Funkcja:

P( X = xi ) = pi

Dystrybuanta:

F (x ) = ∑ pi
xi ≤ x

) gdzie:
n

i=1, 2, ... ,n

∑p

i

i=

=



Materiały do wykładu 8 ze Statystyki















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

1.

f (x ) ≥

jest określona nieujemnie

+∞

2.

∫ f (x)dx =

−∞

pole powierzchni pomiędzy wykresem a osią 0x
jest równe jedności

Dystrybuanta:

F (x) =

x

∫ f (t )dt

−∞

Własności dystrybuanty (cd.)

a.

b.
c.

P( X ≤ a ) = F (a )
P( X ≥ a ) = − F (a )
P(a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a )



i spełniająca następujące warunki:

 

Funkcja gęstości zmiennej losowej ciągłej
Jest to funkcja f(x) określona na zbiorze liczb rzeczywistych



Materiały do wykładu 8 ze Statystyki



 

















©

Materiały do wykładu 8 ze Statystyki

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

Charakterystyki liczbowe rozkładu (wybrane)
(parametry rozkładu)
Wartość oczekiwana E(X) (nadzieja matematyczna)

E( X ) = m

Wartość m jest to taka wartość zmiennej losowej X, wokół której skupiają się
wyniki wielokrotnych realizacji tej zmiennej. Innymi słowy, oczekuje się (ma
się nadzieję), e wielokrotne realizacje zmiennej losowej X będą skupiały się
wokół liczby m.
Wartość oczekiwana nale y do miar poło enia. Mo na ją wyliczyć jako:

E ( X ) = ∑i = pi xi
n

- dla zmiennych losowych skokowych

+∞

E( X ) = ∫ xf ( x )dx
−∞

Wariancja V(X)

- dla zmiennych losowych ciągłych

V (X ) = σ

Wariancja nale y do miar rozproszenia. Mo na ją wyliczyć jako:

( )

V ( X ) = E[X − E( X )] = E X − E( X )

Odchylenie standardowe

σ

V (X ) = σ

M

Mediana
e
Jest to taka wartość zmiennej losowej X, dla której dystrybuanta wynosi 1/2:

F (M e ) =

Podobnie mo na definiować wiele pozostałych charakterystyk (modalna,
kurtoza, współczynnik asymetrii, itp.).















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

wartość oczekiwana
odchylenie standardowe

E( X ) = m

V (X ) = σ

Zabieg standaryzacji polega na utworzeniu nowej zmiennej losowej T
wg następującego wzoru:

X −m
T=
σ
Nowa zmienna losowa T będzie miała ten sam typ rozkładu
co zmienna losowa X.
Parametry rozkładu nowej zmiennej T będą zawsze następujące:

wartość oczekiwana

odchylenie standardowe

E(T ) =

V (T ) =



Dana jest zmienna losowa X o dowolnym rozkładzie z parametrami:

 

STANDARYZACJA zmiennej losowej



Materiały do wykładu 8 ze Statystyki















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

Zmienna losowa X (ciągła) ma rozkład normalny z parametrami
jeśli jej funkcja gęstości jest określona wzorem:

miσ

( x −m )
¡

σ

π

e

σ

¡

f (x ) =



Będziemy to zapisywali krótko:
Wykres tej funkcji pokazuje rysunek:

dla −∞ < x < +∞

X N (m σ)

Rozkład zmiennej losowej X ma następujące parametry:

E( X ) = m

wartość oczekiwana
odchylenie standardowe
modalna (dominanta)

V (X ) = σ
Mo = m
Me = m

mediana
Rozkład normalny jest rozkładem symetrycznym poniewa :

E( X ) = M e = M o = m



Rozkład NORMALNY

 

Wybrane ROZKŁADY zmiennych losowych
i ich TABLICE



Materiały do wykładu 8 ze Statystyki



 

















©

Materiały do wykładu 8 ze Statystyki

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

W celu odczytywania prawdopodobieństw dla zmiennych losowych
o rozkładzie normalnym korzysta się z tablic dystrybuanty dla
standaryzowanej zmiennej losowej U o rozkładzie normalnym.
(w podręczniku [2] jest ona oznaczana przez T).
Ka de pytanie o prawdopodobieństwa związane ze zmienną losową X musi
być zawsze poprzedzone standaryzacją:

X −m
U=
σ

X N (m σ)

U N(

)

PRZYKŁAD 2
Z badań producenta opon wynika, e ich „ ywotność” (mierzona
przebiegiem) ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną 60 [tys. km] i
odchyleniem standardowym 8 [tys. km].
Oblicz prawdopodobieństwo tego, e zakupiona opona będzie miała
„ ywotność” pomiędzy 50, a 80 [tys. km].
Oznaczając „ ywotność” opony przez X mo emy zapisać krótko:

X: N(60 ; 8).
Pytanie kupującego mo na zapisać równie krótko:

P(50 < X < 80) = ?.
Aby precyzyjnie odpowiedzieć na to pytanie musimy kompleksowo:
1. skorzystać z własności (c) dystrybuanty (s. 3),
2. dokonać standaryzacji wybranych wartości zmiennej losowej X
(standaryzować graniczne „ ywotności” opony) oraz
3. odczytać z tablic wartości dystrybuanty dla granicznych „ ywotności”
poddanych standaryzacji.

P(

= F

=

1,64 ) ≈ 0,05
poniewa P( U > 1,64 ) = 1 - P( U < 1,64 ) = 1 – Φ (1,64) ) ≈ 1 - 0,95 ≈ 0,05 .



Materiały do wykładu 8 ze Statystyki

 



















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

Tabela przydatnych odczytów z tablic
dystrybuanty rozkładu normalnego N(0;1)
W wykładach 9 i 10 (estymacja, weryfikacja hipotez statystycznych) często
zajdzie potrzeba odczytania tzw. wartości krytycznych.
Dobrym ćwiczeniem w celu sprawnego posługiwania się tablicami
dystrybuanty rozkładu N(0;1) (przy wnioskowaniu statystycznym na
podstawie informacji z próby) będzie uzupełnienie poni szej tabeli.
dane

szukane

dane

dane do
odczytu

szukane

P(Uu)

P(U>u) =
1-P(U2) pokazuje rysunek:

Rozkład zmiennej losowej
parametry:
wartość oczekiwana

odchylenie standardowe

χ

2

o

k

stopniach swobody ma następujące

( )

E χ =k

( )

Vχ =
χ

2

k

Rozkład zmiennej losowej
o k stopniach swobody jest rozkładem
pomocniczym u ywanym we wnioskowaniu statystycznym.

 



















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

χ2 o k stopniach swobody zostały

opracowane tak, e podają przy zało onym prawdopodobieństwie (α) taką

(

wartość oznaczmy ją

χα k )

(

zmiennej losowej

P χ > χα

k

χ2 , dla której :

)= α

UWAGA !!! Stopnie swobody są oznaczone w tablicach przez

r.

PRZYKŁAD 4

χ2 o 5 stopniach swobody, która
)= ?

Jaka jest wartość zmiennej losowej
spełnia warunek

(

P χ >χ

α

r

0,99

...
...
...
...
...
...
...

 

1
2
3
4
5
6

Poszukiwaną wartością zmiennej losowej
liczba

χ

=

Spełnia ona warunek

(

.

Pχ >

0,10

0,05

0,02

11,070

χ2 o 5 stopniach swobody jest

)=



Tablice zmiennej losowej

Materiały do wykładu 8 ze Statystyki















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

Tk =
Rozkład tak zdefiniowanej zmiennej

U
χ

k

Τk nazywamy

rozkładem zmiennej losowej t-Studenta o k stopniach swobody.
Wykres funkcji gęstości pokazuje rysunek:

Rozkład zmiennej losowa t-Studenta o
następujące parametry:
wartość oczekiwana

odchylenie standardowe

k

stopniach swobody ma

E (Tk ) =
k
V (Tk ) =
k−
Τ

Rozkład zmiennej losowej t-Studenta
k o k stopniach swobody jest
rozkładem pomocniczym u ywanym we wnioskowaniu statystycznym.



χ2

2. zmienna losowa
o k stopniach swobody
Zdefiniujemy nową zmienną losową postaci :



Dana są dwie zmienne losowe:
1. zmienna losowa U:N(0;1) oraz

 

Rozkład t - Studenta



Materiały do wykładu 8 ze Statystyki



 



















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

Tablice zmiennej losowej t-Studenta

Materiały do wykładu 8 ze Statystyki

Τk o k stopniach swobody zostały

opracowane tak, e podają przy zało onym prawdopodobieństwie (α) taką
wartość oznaczmy ją t α k

(

)

zmiennej losowej

P(Tk ≥ tα

Τk , dla której :

)= α

k

UWAGA !!! Stopnie swobody są oznaczone w tablicach przez

r.

PRZYKŁAD 5
Jaka jest wartość zmiennej losowej t-Studenta o 4 stopniach swobody,
która spełnia warunek

α

0,5

...

r
1
2
3
4
5
6
Jest to liczba

P( T ≥

P(Tk ≥ t

...

t

=

)=

0,1

)=

0,05

?

0,02

2,7764

. Spełnia ona warunek
Ilustruje to rysunek:

...

...

α

r
1
2
3
4
5
6



 



















©

Materiały do wykładu 8 ze Statystyki

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

PRZYKŁAD 6
Jaka jest wartość zmiennej losowej t-Studenta o 4 stopniach swobody,
która spełnia warunek

P(Tk ≥ t

)=

?

Aby poprawnie odczytać musimy podwoić prawdopodobieństwo

α

r
1
2
3
4
5
6

0,5

...

0,1

...

Poszukiwana liczba to
Spełnia ona warunek

0,05

0,02

...

2,1318

t

=

P(T ≥

...

.

)=

.

α.
α

r
1
2
3
4
5
6



 



















©

Materiały do wykładu 8 ze Statystyki

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

PRZYKŁAD 7
Jaka jest wartość zmiennej losowej t-Studenta o 4 stopniach swobody,

P(T ≤ t

)=

k
?
która spełnia warunek
Tutaj równie aby poprawnie odczytać musimy podwoić
prawdopodobieństwo

α

r
1
2
3
4
5
6

0,5

α.
0,1

...

...

0,05

0,02

...

...

2,1318

Odczytaną z tablic liczbę nale y wziąć z przeciwnym znakiem.
Poszukiwana liczba to
Spełnia ona warunek

t

=−

P(T ≤ −

.

)=

.

α

r
1
2
3
4
5
6

Podobne prace

Do góry