Wymagany Adobe Flash Player wesja 10.0.0 lub nowsza.















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

Hipoteza -

sąd o zbiorowości generalnej (populacji) wydany
na podstawie próby statystycznej.

Rodzaje hipotez -

parametryczne (o wartości przeciętnej,
o wskaźniku struktury, o wariancji, itp.) oraz nieparametryczne
(o rozkładzie cechy, o niezale ności cech X i Y, itp.).

Hipoteza zerowa (H0) -

hipoteza sprawdzana.

Hipoteza alternatywna (H1) -

hipoteza, którą
jesteśmy skłonni przyjąć gdy odrzucimy hipotezę zerową (H0).

Test statystyczny -

reguła postępowania w wyniku której
odrzucimy hipotezę zerową (H0).

Rodzaje błędów w testowaniu hipotez
przyjąć H0
odrzucić H0
błąd I-rodzaju
O.K.
H0
prawdziwa

1-α

α

H0

błąd II-rodzaju

O.K.

β

1-β

fałszywa

α - jest to prawdopodobieństwo popełnienia błędu I-rodzaju i
nazywane jest poziomem

istotności . Zwykle przyjmuje się:

α=0,05 (u ywane są równie
Dobry test:

poziomy: 0,1; 0,02; 0,01)

test w którym

α≈β



Definicje



Testowanie hipotez statystycznych



Materiały do wykładu 10 ze Statystyki

 

















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

testy, w których dla z góry ustalonego

poziomu prawdopodobieństwa błędu I-rodzaju (α) poziom
prawdopodobieństwa błędu II-rodzaju (β) jest minimalny.

Sprawdzian (hipotezy) -

statystyka, której wartość
policzona na podstawie próby pozwala podjąć decyzję o odrzuceniu
hipotezy zerowej (H0).

Zbiór (obszar) krytyczny -

zbiór wartości
sprawdzianu, które przemawiają za odrzuceniem hipotezy zerowej
(H0).

Rodzaje zbiorów (obszarów) krytycznych

Lewostronny
obszar odrzucenia H0

prawostronny
obszar odrzucenia H0

H 0: Q = Q 0
H 1: Q < Q 0

H 0: Q = Q 0
H 1: Q > Q 0

obustronny
obszar odrzucenia H0

H 0: Q = Q 0
H 1: Q ≠ Q 0



Testy istotności -

Materiały do wykładu 10 ze Statystyki















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

1. Testowanie hipotezy o wartości przeciętnej (m) oraz
2. Testowanie hipotezy o wskaźniku struktury (p).
W celu porównywania obu wymienionych parametrów w dwóch
zbiorowościach stosuje się następujące testy (tylko na ćwiczeniach):
1. Testowanie hipotezy o równości dwóch wartości przeciętnych
(m1=m2) oraz
2. Testowanie hipotezy o równości dwóch wskaźników struktury
(p1=p2).

Testowanie hipotezy o wartości przeciętnej (m)
Zało enie: Cecha ma w populacji rozkład normalny N(m;σ).
Zało enie to mo na weryfikować nieparametrycznymi testami
zgodności (np. test zgodności chi-kwadrat).

Formułowanie hipotez
Hipoteza zerowa (H0) jest hipotezą „o równości” i brzmi:

H0: m = m0
gdzie m0 jest konkretną wartością (liczbą).
Hipoteza alternatywna (H1) mo e być sformułowana trojako
(najczęściej w zale ności od wyniku uzyskanego w próbie):

H1: m ≠ m0 (albo H1: m < m0 albo te H1: m > m0)
Wybór hipotezy alternatywnej (H1) ma decydujące znaczenie dla
sformułowania obszaru odrzucenia.



Elementarnymi testami są tutaj następujące testy:

 

Testy parametryczne



Materiały do wykładu 10 ze Statystyki



 

















©

Materiały do wykładu 10 ze Statystyki

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

Konstruowanie sprawdzianu
Wybór sprawdzianu hipotezy zerowej (H0)zale y od liczebności
próby n oraz od znajomości odchylenia standardowego σ
w populacji.
Je eli:
•
•

σ jest znane i n≤30 albo
≤
σ jest znane i n>30 albo
σ jest nieznane i n>30 ale wówczas mo

•
emy przyjąć σ≈S
to sprawdzianem hipotezy zerowej H0 jest statystyka:

X −m
T=
n
(9.1)
σ
która ma rozkład normalny N(0 ; 1)
Je eli:
• σ jest nieznane i n≤30
≤
to sprawdzianem hipotezy zerowej H0 jest statystyka:

X −m
T=
n−
(9.2)
S
która ma rozkład Studenta o n-1 stopniach swobody.
Wnioskowanie
Je eli wartość sprawdzianu T znajdzie się:
1. w obszarze odrzucenia, to odrzucamy H0 i przyjmujemy H1.
2. poza obszarem odrzucenia, to nie mamy podstaw do odrzucenia
H0.

UWAGA !!!

Nigdy nie mówimy o przyjęciu hipotezy H0.

 

















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

Jak oczytać z tablic wartość krytyczną t kryt ,
tj. granicę (granice) dla obszaru odrzucenia
• Przyjmujemy poziom istotności czyli prawdopodobieństwo α
popełnienia błędu I-rodzaju.
• Rodzaj obszaru krytycznego określamy wstępnie na podstawie
hipotezy alternatywnej H1 (wyjaśniają to rysunki na stronie 2).

Rozkład normalny N(0 ; 1)

(rozdane 2-stonicowe tablice)

1. Dla obszaru lewostronnego odczytujemy taką wartość

(

)

− tkryt ,

dla której Φ − t kryt = α
2. Dla obszaru prawostronnego przyjmujemy wartość odczytaną
dla obszaru lewostronnego i bierzemy ją ze znakiem dodatnim:

+ tkryt .
3. Dla obszaru obustronnego odczytujemy taką wartość

(

)

dla której Φ − t kryt = α

− tkryt ,

. Granicami będą wartości:

± tkryt

Rozkład Studenta

(rozdane tablice)
1. Dla obszaru lewostronnego lub prawostronnego odczytujemy

{

}

t
taką wartość kryt , dla której P Tn − > tkryt > α i
−t

kryt dla obszaru lewostronnego lub
przyjmujemy
dla prawostronnego.

+ tkryt

t
2. Dla obszaru obustronnego odczytujemy taką wartość kryt , dla

{

}

której P Tn − > tkryt > α . Granicami obszarów odrzucenia
będą wartości:

± tkryt



Materiały do wykładu 10 ze Statystyki

 

















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

PRZYKŁAD
W 100 losowo wybranych gospodarstwach domowych średnia
miesięczna opłata za energię elektryczną wyniosła 68 złotych, a
odchylenie standardowe 14 złotych. Zweryfikuj panującą opinię, e
przeciętne miesięczne wydatki na energię elektryczną w całej
populacji (m) wynoszą 75 złotych przyjmując poziom istotności
0,05.

x=
m =

Dane: n =

α=
Hipotezy:

Sprawdzian:

S=
σ≈S

H0: m = 75
H1: m < 75 (obszar lewostronny)
X −m
T=
n
σ
−
T=

T =−
Wartość krytyczna: odczyt z rozkładu normalnego N(0;1)

α=

→

tkryt = −

T =−