Ocena brak

Statystyka matematyczna

Autor /leo-miza7 Dodano /03.01.2005

Statystyka w rozumieniu tego wykładu to zbiór metod służących
 pozyskiwaniu,
 prezentacji,
 analizie
danych.

Celem generalnym stosowania tych metod, jest otrzymywanie, na podstawie danych, użytecznych uogólnionych informacji na temat zjawiska, którego dotyczą.
Proces pozyskiwania danych ogólnie nazywany jest badaniem statystycznym.
W ramach badania statystycznego dokonuje się obserwacji statystycznej.


POJĘCIE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

W wielu rzeczywistych sytuacjach zebranie wszystkich potencjalnych danych nie jest możliwe, a interpretacji dokonuje się na podstawie odpowiednio zebranych danych częściowych o badanym zjawisku. Taka analiza, wykorzystująca metody rachunku prawdopodobieństwa nosi nazwę statystyki matematycznej.


POPULACJA GENERALNA

Badanie statystyczne dotyczy zawsze pewnej liczby zbiorów, której elementami są obiekty materialne lub zjawiska. W statystyce matematycznej badaną zbiorowość statystyczną nazywa się populacją generalną lub zbiorowością generalną.

Populacja generalna skończona – jeżeli zbiór jej elementów jest skończony.
Przykład: zbiorowość studentów 2-go roku kierunku MiBM, zbiorowość krzeseł w sali.

Populacja generalna nieskończona dotyczy zazwyczaj zjawisk, a nie obiektów matematycznych.
Przykład: zbiorowość wyników pomiarów twardości materiału.


CECHA STATYSTYCZNA

Elementy populacji generalnej mogą mieć różne właściwości (i najczęściej miewają), które podlegają obserwacji. Te własności nazywa się cechami statystycznymi lub krótko cechami.
Przykład: w badaniu populacji ludzi np. wiek, wzrost, waga, płeć, kolor oczu, włosów, itd.

Te właściwości, które mają charakter ilościowy nazywa się cechami mierzalnymi (wzrost, waga).
Własności jakościowe (płeć, kolor włosów) nazywa się cechami niemierzalnymi.

Przeważająca część metod statystyki matematycznej dotyczy analizy cech mierzalnych.


ROZKŁAD CECHY

Jeżeli elementy populacji różnią się między sobą własnościami analizowanej cechy, to mówi się o rozkładzie cechy populacji.




BADANIA PEŁNE I CZĘŚCIOWE

Celem badania statystycznego jest na ogół poznanie rozkładu interesującej nas cechy populacji generalnej przez uzyskanie informacji o wartościach syntetycznych charakterystyk (parametrów) tego rozkładu.
Rozróżnia się dwa zasadnicze typy badań:
 badania pełne obejmujące wszystkie elementy zbiorowości generalnej,
 badania częściowe obejmujące część elementów populacji generalnej.
PRÓBA
Podzbiór elementów populacji generalnej podlegających badaniu nazywa się próbą.
Statystyka matematyczna zajmuje się tylko badaniami częściowymi, takimi, w których dobór próby podlega pewnym obiektywnym regułom.


DOBÓR PRÓBY, PRÓBA LOSOWA

Warunki dla zapewnienia losowego doboru próby:
 każdy element populacji generalnej ma dodatnie, znane prawdopodobieństwo znalezienia się w próbie losowej,
 istnieje możliwość ustalenia prawdopodobieństwa znalezienia się w próbie dla każdego zespołu elementów populacji.

Próbę otrzymaną w wyniku doboru losowego nazywa się próbą losową.


WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

Podstawowym zagadnieniem pojawiającym się w badaniu częściowym jest możliwość uogólniania uzyskanych na podstawie próby wyników, na całą populację oraz oszacowanie popełnianych przy tym błędów.
Takie działania nazywa się wnioskowaniem statystycznym.

Wyróżnia się dwa podstawowe typy problemów:
 estymacja (szacowanie) nieznanych wartości parametrów rozkładu cechy,
 sprawdzanie (weryfikacja) hipotez dotyczących wartości parametrów rozkładu lub postaci samego rozkładu.


CECHY SKOKOWE I CIĄGŁE

Cechy statystyczne (mierzalne), które przyjmują wartości całkowite nazywa się cechami skokowymi lub dyskretnymi.
Cechy przyjmujące wartości rzeczywiste nazywają się cechami ciągłymi.


EMPIRYCZNY ROZKŁAD CECHY

Empiryczny rozkład cechy stanowi podstawę dla wszystkich analiz badanej cechy. Jeżeli próba dotycząca jednej cechy mierzalnej nie jest zbyt liczna, tzn. dotyczy 30 jednostek, to wstępne jej opracowanie polega na uszeregowaniu w porządku rosnącym danych liczb. Otrzymany w ten sposób ciąg liczb nazywa się szeregiem pozycyjnym.
Jeżeli liczebność próby jest duża (orientacyjnie 30), to pierwszym etapem jej opracowania jest dokonanie grupowania, czyli klasyfikacji. Grupowanie polega na podziale próby na podzbiory zwane grupami lub klasami, a wartością reprezentującą poszczególne klasy są ich środki. Przedziały klasowe oraz ich liczebności, czyli liczby jednostek próby należących do danej klasy tworzą razem tzw. szereg rozdzielczy.

Aby utworzyć szereg rozdzielczy należy:
1. ustalić obszar zmienności R badanej cechy, czyli przedział ograniczony najmniejszym i największym elementem próby

R=Xmax-Xmin

Gdzie: Xmax – największy element w próbie,
Xmin - najmniejszy element w próbie.

2. wyznaczyć ilość przedziałów klasowych m
Podanie jakichkolwiek ogólnych prawideł dotyczących podziału na klasy nie jest możliwe. Istnieje natomiast kilka sugestii dotyczących liczby przedziałów klasowych m próby o liczebności n:
- liczba przedziałów klasowych ni powinna być mniejsza niż 7 i większa niż 15. Liczebność w każdym przedziale nie powinna być mniejsza od 5,
- sposoby określania m:

Zbyt duża liczba klas (małe przedziały klasowe) nie daje przejrzystego obrazu i ujawnia przypadkowe odchylenia związane z działaniem czynników ubocznych.
Zbyt mała liczba klas zaciera istotne szczegóły struktury próby.

3. podzielić obszar zmienności na klasy i ustalić reprezentację klasy (środek przedziału klasowego) oraz końce przedziałów klasowych

Szerokość przedziału klasowego:


Wektor brzegów (końców) przedziałów Xb:


Wektor środków przedziałów klasowych Xp:


4. wyznaczyć liczebność w klasach - fj w programie Mathcad f=hist(Xb, X)

5. wyznaczyć prawdopodobieństwa empiryczne
, m – liczba przedziałów

6. zbudować empiryczny rozkład cechy – HISTOGRAM.


ZMIENNA LOSOWA

Określenie intuicyjno-poglądowe:
Wielkość, która w wyniku doświadczenia przyjmuje określoną wartość dopiero po zrealizowaniu doświadczenia, a nie dająca się przewidzieć przed jego realizacją.

Definicja (jedna z możliwych):
Zmienna losowa jest to taka zmienna, która w wyniku doświadczenia przybiera jedną i tylko jedną wartość ze zbioru tych wszystkich wartości, jakie ta zmienna może przyjąć.

Oznaczanie zmiennych losowych:
- na ogół końcowymi literami alfabetu, np. X, Y, ...

Wartości zmiennej losowej
Wartości zmiennej losowej (realizacja), oznaczamy małymi literami, np. x, y, ...


Przykład
Rzucamy jeden raz monetą. W wyniku realizacji doświadczenia, można otrzymać dwa zdarzenia:
 E1 – wyrzucenie orła,
 E2 – wyrzucenie reszki.
Przyporządkujemy zdarzeniu E1 wartość 0, a zdarzeniu E2 wartość 1. Liczby 0 i 1 są realizacjami zmiennej losowej X, określonej na zbiorze zdarzeń E1 i E2.

Z wartościami zmiennej losowej związane są określone prawdopodobieństwa, tak więc zmienna losowa przybiera różne wartości z różnym prawdopodobieństwem:

P(X=xi)=pi

Prawdopodobieństwo pi można traktować jako funkcję wartości przyjmowanych przez zmienną losową. Oznacza się ją następująco:

pi=f(xi)

Funkcja ta charakteryzuje się tym, że suma prawdopodobieństw jest równa jedności:



Rodzaje zmiennych losowych:
 zmienne skokowe (dyskretne),
 zmienne ciągłe.

Zmiennymi losowymi skokowymi (dyskretnymi) nazywamy takie zmienne losowe, które mają skończony lub przeliczalny zbiór wartości.
Przykłady zmiennych losowych dyskretnych:
 liczby urodzeń w Polsce,
 ocena uzyskiwana przez studentów na egzaminie z wybranego przedmiotu.

Zmiennymi losowymi ciągłymi nazywamy takie zmienne losowe, które mogą przybierać dowolne wartości liczbowe z pewnego przedziału liczbowego.
Przykłady zmiennych losowych ciągłych:
 wzrost, waga, wiek człowieka,
 wytrzymałość belki na zginanie,
 opór przewodu elektrycznego.


ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ

Niech X jest zmienną losową dyskretną, która może przyjmować wartości x1, x2, ... odpowiednio z prawdopodobieństwem p1, p2, ... Każdej realizacji zmiennej losowej X przyporządkowane jest więc pewne prawdopodobieństwo. To prawdopodobieństwo można traktować jako funkcję określoną na zbiorze wartości, jakie może przyjmować zmienna losowa X.

Rozkładem skokowej (dyskretnej) zmiennej losowej X nazywa się prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przybiera wartość xi (i=1, 2, ...)

P(X=xi)=pi ,

przy czym

.

Formy przedstawienia rozkładu:
 tabelaryczna:

X x1 x2 ... xn
P p1 p2 ... pn

 analityczna:
P(X=xi)=f(xi),

gdzie: f(x¬i) – funkcja rozkładu prawdopodobieństwa.

 graficzna:






DYSTRYBUANTA ZMIENNEJ LOSOWEJ (SKUMULOWANE PRAWDOPODOBIEŃSTWO)

Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję oznaczaną przez F(x) określoną:

F(x)=P(Xx).

Określa ona prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmuje jakąkolwiek wartość mniejszą od z góry przyjętej danej wartości x.

Dystrybuanta może być określona w przedziale obustronnie ograniczonym lub jednostronnie, dwustronnie nieograniczonym.

Dystrybuanta F(x) określona w przedziale a, b posiada następujące własności:
 jest funkcją niemalejącą,
 jest funkcją co najmniej lewostronnie ciągłą,
 F(a)=0, F(b)=1.

Znając dystrybuantę F(x) zmiennej losowej, można obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa przyjmuje jakąś wartość leżącą pomiędzy wartościami x1 i x2.

P(x1Xx2) = F(x2) - F(x1)

Dystrybuantę można także stosować dla znalezienia prawdopodobieństwa zdarzenia takiego, że badana zmienna losowa X przyjmuje wartość większą równą x. Ponieważ badanie zdarzenie jest przeciwne zdarzeniu z prawdopodobieństwem F(x), to

P(Xx) = 1 - F(x)

Przykład
Do tarczy oddaje się w sposób ciągły niezależny 3 strzały. Prawdopodobieństwo trafienia wynosi ½ (trafi lub chybi). Niech zmienna losowa X oznacza liczbę trafień w tarczę. Zbiór zdarzeń tego doświadczenia jest następujący:

{NNN, NNT, NTN, TNN, NTT, TNT, TTN, TTT}

Zmienna losowa przyjmuje więc wartości :

x1=0, x2=1, x3=2, x4=3

Stosując elementarne zasady rachunku prawdopodobieństwa obliczamy:

P(X=0)=p1=1/8
P(X=1)=p1=3/8
P(X=2)=p1=3/8
P(X=3)=p1=1/8



xi 0 1 2 3
pi 1/8 3/8 3/8 1/8


Dystrybuantę F(x) zmiennej losowej X skokowej (dyskretnej) można zapisać też tak:



Dla przykładu:


Zmienna losowa ciągła
Zakładając, że wartości x przyjmowane przez zmienną losową X, zmieniają się w sposób ciągły w przedziale a, b, otrzymujemy granicę



którą nazywamy funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej.

P(xXx+x) = F(x+x) – F(x)



Pochodna dystrybuanty zmiennej losowej ciągłej jest równa jej funkcji gęstości, co można przedstawić



W przypadku gdy f(x) jest określona dla xa, b, to



Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa ciągła przyjmuje jakąkolwiek wartość pomiędzy dowolnymi dwiema wartościami x1x2 można obliczyć na podstawie znajomości jej dystrybuanty lub jej funkcji gęstości:


Wzór ten określa to, że prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową ciągłą pewnej konkretnej wartości xn jest równe 0:



Wobec tego nie ma sensu stawiać pytania, że zmienna losowa ciągła przyjmuje określoną wartość, ale należy pytać o prawdopodobieństwo, że zmienna ta przyjmie jakąś wartość z ustalonego przedziału.


ROZKŁADY TEORETYCZNE ZMIENNEJ LOSOWEJ DYSKRETNEJ

Rozkład jednopunktowy
Zmienna losowa X ma rozkład jednopunktowy, czyli rozkład Diraca, gdy istnieje taka stała cR, że

P(X=c)=1

czyli równocześnie

P(Xc)=0


Rozkład dwupunktowy
Zmienna losowa ma rozkład dwupunktowy, gdy istnieją takie stałe a,bR, że

P(X=a) = p
P(X=b) = 1 – p = q, 0p1


Rozkład równomierny
Zmienna losowa ma rozkład równomierny, gdy dla ciągu punktów x1x2...xq prawdopodobieństwo

P(X=xk) = 1/q, k=1, 2, ... , q

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa:



Rozkład dwumianowy – Bernoulli’ego
Zmienna losowa ma rozkład dwumianowy (Bernoulli’ego), gdy funkcja rozkładu prawdopodobieństwa ma postać:



n – liczba naturalna,
p – liczba rzeczywista, p(0, 1)

Wartość oczekiwana (średnia):
Wariancja:

Przykład
Wymaganie odbiorcy pewnego wyrobu masowej produkcji stanowi, że wadliwość (obejmująca jednostki gorsze niż pierwszego gatunku) nie może przekraczać 5%. Do kontroli wylosowano 10 jednostek i poddano badaniu jakościowemu. Obliczyć jakiego należy spodziewać się wyniku, gdy partia wyrobu zawiera dokładnie 95% jednostek pierwszego gatunku.



tutaj: n=10, p=0,05


Rozkład Poissona
Jeżeli zmienne losowe x1, x2, ..., xn mają rozkład dwumianowy o parametrach n i (=const, 0) to ciąg funkcji prawdopodobieństwa



dąży dla każdego x = 0, 1, ..., n do funkcji



ROZKŁAD ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH

Rozkład jednostajny (prostokątny, równomierny)
Zmienna losowa ma rozkład jednostajny (na przedziale (a, b)), jeżeli jej gęstość prawdopodobieństwa jest określona wzorem:


Dystrybuanta – otrzymujemy ją jaką całkę z funkcji gęstości prawdopodobieństwa


Przykład.
Błąd powstały przy ustawieniu zegara przyrządu pomiarowego może być rozpatrywany jako zmienna losowa o rozkładzie jednostajnym w przedziale, którego środkiem jest zero skali, a długość jest równa odległości między sąsiednimi kreskami skali. Jeżeli np. podziałka skali odpowiada 0,1V, to jaka jest gęstość błędu ustawienia zera. Jakie jest prawdopodobieństwo, że bezwzględny błąd ustawienia zera nie przekracza 0,03V?







Mamy:
b – a = 0,1, a stąd




Rozkład normalny (Gaussa)
Uznawany za najważniejszy rozkład w teorii prawdopodobieństwa.
Znaczenie rozkładu normalnego wynika z następujących faktów:
 Rozkład normalny jest modelem dla losowych błędów pomiarów. Jeżeli błąd pomiaru nieznanej wielkości jest sumą wielu małych losowych błędów zarówno dodatnich jak i ujemnych, to suma ma rozkład z mniejszą lub większą dokładnością, zawsze bliski rozkładowi normalnemu.
 Wiele zjawisk fizycznych, choć nie podlega rozkładowi normalnemu, może być opisanych za pomocą tego rozkładu, po odpowiedniej transformacji. Np. czas zdatności niektórych maszyn jest zmienną losową o dodatnim współczynniku asymetrii. Gdy jednak będziemy rozpatrywać logarytm takiej zmiennej, to okaże się, że ma ona rozkład normalny.
 Rozkład normalny stanowi dobre przybliżenie dla innych rozkładów, np. rozkładu dwumiarowego.

Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej o rozkładzie normalnym


Oznaczenie:
 - wartość średnia (oczekiwana)
 - odchylenie standardowe
N(,) – ogólna postać rozkładu normalnego

1>2>3>4
 = const



10 – sa stałymi wchodzącymi w skład parametrów rozkładu,
f(x) – jest funkcją ciągła i większą bądź równą zeru.

Funkcja gamma (całka Eulera drugiego rodzaju)




Rozkład chi – kwadrat ( )
Rozkładem o n stopniach swobody nazywamy rozkład zmiennej losowej, która jest sumą n niezależnych zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym N (0,1):
przy czym Xk ma rozkład N (0,1)

Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej o rozkładzie :

n – określa liczbę stopni swobody


Rozkład t – Studenta
Jeżeli zmienna losowa Y ma rozkład normalny N(0,1), zaś zmienna losowa S jest od Y niezależna i S2 ma rozkład o n stopniach swobody, to zmienna losowa t:

ma gęstość prawdopodobieństwa


Zmienna t ma rozkład t – Studenta o n stopniach swobody.


Rozkład F – Snedecora
Iloraz dwóch niezależnych zmiennych losowych ,takich, że Y ma rozkład o n stopniach swobody, a X ten sam rozkład o m stopniach swobody:

ma rozkład nazywamy rozkładem F – Snedecora.

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej o rozkładzie F – Snedecora o (n,m.) stopniach swobody




ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA PARAMETRÓW

Metoda estymacji przedziałowej to dokonanie szacunku parametru, w postaci takiego przedziału (zwanego przedziałem ufności), który z dużym prawdopodobieństwem obejmuje prawdziwą wartość parametru.

Przedział ufności dla średniej

Model I
Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(,). Wartość średniej  jest nieznana, odchylenie standardowe  w populacji jest znane. Z populacji tej pobrano próbę o liczebności n-elementów, wylosowanych niezależnie. Przedział ufności dla średniej  populacji otrzymuje się ze wzoru:

- wartość średnia
gdzie:
1 -  - jest prawdopodobieństwem, przyjętym z góry i nazywanym współczynnikiem ufności (w zastos. praktycznych przyjmuje się wartość 1 -  0,9)
u - jest wartością zmiennej losowej U o rozkładzie normalnym,
- średnia arytmetyczna z próby obliczona wg zależności:




Wartość u dla danego współczynnika ufności 1- wyznacza się z rozkładu normalnego standaryzowanego N (0,1), w taki sposób, by spełniona była relacja:



u jest taką wartością zmiennej losowej o rozkładzie normalnym standaryzowanym, że pole powierzchni pod krzywą gęstości w przedziale (-u, u) wynosi 1-, a pole pod krzywą gęstości na prawo od u i na lewo od - u wynosi po /2.



Model II
Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N (,). Nieznana jest zarówno wartość średnia , jak i odchylenie standardowe  w populacji.
Z populacji tej wylosowano niezależnie mała próbę o liczebności n (n

Podobne prace

Do góry