Ocena brak

Statystyka - Charakterystyki liczbowe, struktury zbiorowości cd.2

Autor /weronika Dodano /15.03.2011

Wymagany Adobe Flash Player wesja 10.0.0 lub nowsza.

praca w formacie pdf Statystyka - Charakterystyki liczbowe, struktury zbiorowości cd.2

Transkrypt



















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE
STRUKTURY ZBIOROWOŚCI
(dok.)
1. miary poło enia - wykład 2
2. miary zmienności (dyspersji, rozproszenia) - wykład 3
3. miary asymetrii (skośności)
4. miary koncentracji

MIARY ASYMETRII
Miary asymetrii charakteryzują rodzaj i stopień odstępstwa
od symetrii rozkładu badanej cechy.
Miary asymetrii dzielą się podobnie jak poprzednie na miary
klasyczne i pozycyjne.
1. miary klasyczne (współczynnik skośności (As lub Ad),
współczynnik asymetrii (A) ) oraz
2. miary pozycyjne (współczynnik skośności (AQ) ).
Najprostszą miarą asymetrii jest wskaźnik skośności (Ws lub WQ).

Dla miar klasycznych jest to ró nica pomiędzy średnią
arytmetyczną i modalną.

Ws = x − M o
Dla miar pozycyjnych badamy odległości
obu kwartyli od mediany.

WQ = (QIII − M e ) − (M e − QI ) = QI + QIII − × M e



Materiały do wykładu 4 ze Statystyki















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

Rozkłady badanych cech ró nią się między sobą
kierunkiem i siłą asymetrii.
Je eli rozkład badanej cechy nie jest symetryczny, to mamy do
czynienia z asymetrią rozkładu. Mówimy o dwóch rodzajach
(kierunkach) asymetrii: lewo- i prawostronnej.
Dla miar klasycznych będzie to:
asymetria lewostronna gdy

Ws = x − M o <

oraz
• asymetria prawostronna gdy

Ws = x − M o >
Dla miar pozycyjnych będzie to:
• asymetria lewostronna gdy

WQ = (QIII − M e ) − (M e − QI ) <

oraz

• asymetria prawostronna gdy

W Q = (Q III − M e ) − (M e − Q I ) >

.
Poni sze rysunki ilustrują rodzaje asymetrii i wzajemne relacje
pomiędzy podstawowymi miarami poło enia.



Ws = x − M o =

 

Je eli rozkład badanej cechy jest symetryczny,
to średnia jest równa modalnej,
a wskaźnik skośności jest równy zero.



Materiały do wykładu 4 ze Statystyki



 

















©

Materiały do wykładu 4 ze Statystyki

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

Dla porównania kierunku i siły asymetrii w dwóch lub więcej
zbiorowościach stosujemy współczynniki

x − Mo
s
Q + QIII − × M e
AQ = I
Q

As =

skośności.

dla miar klasycznych

dla miar pozycyjnych

Do klasycznych miar asymetrii nale y równie współczynnik
asymetrii (A). Uwaga!!! Jest on pracochłonny w liczeniu.

m
A=
s

gdzie:

s – odchylenie standardowe

Licznik powy szego ułamka (m3) wyliczamy odmiennie dla ka dego
sposobu pogrupowania materiału statystycznego. I tak:
n

m =

∑ (x − x )
n
i

- szereg szczegółowy

i=
k

m =

∑ (x − x ) n
n

- szereg rozdzielczy punktowy

&
∑ (x − x ) n
n

- szereg rozdzielczy przedziałowy

i

i

i=
k

m =

i

i=

i













©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

i
1
2
3
4
5
×

Stawka
[zł/godz.]
x0i
x1i
2
4
4
6
6
8
8
10
10
12
razem

średnia
wariancja
odchylenie standardowe
modalna
kwartyl I
kwartyl II (mediana)
kwartyl III
odchylenie ćwiartkowe
wskaźnik skośności (klas.)
wskaźnik skośności (pozyc.)
współcz. skośności (klas.)
współcz. skośności (pozyc.)
współcz. asymetrii (A)
(licznik A, tj. m3)

liczba pracowników (ni)
firma A
15
30
60
30
15
150

firma B
15
105
75
75
30
300

firma C
20
50
50
70
10
200

7
4,8
2,19
7
5,5
7
8,5
1,5
0
0
0
0
0
0

7
4,8
2,19
5,5
5,14
6,8
8,8
1,83
1,5
0,34
0,68
0,09
0,23
2,4

7
4,8
2,19
8,5
5,20
7,2
8,86
1,83
-1,5
-0,34
-0,68
-0,09
-0,23
-2,4



klasa



Płace (stawka godzinowa) w firmach A, B i C

 

PRZYKŁAD 1 (Przykład 7 z wykładu 3 – praca domowa)



Materiały do wykładu 4 ze Statystyki

















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

Ws = x − M o = −
=−
WQ = QI + QIII − × M e =

+

x − Mo −
As =
=
=−
s
QI + QIII − × M e −
AQ =
=
Q
×

− ×

=−

=−

Obliczanie współczynnika asymetrii (A)
klasa

Stawka
[zł/godz.]

środek
klasy

obliczanie m3 we współczynniku asymetrii
(firma C)
&
&
xi − x (xi − x ) (xi − x ) ni
&
ni
¢

¡

i

x0i

x1i

&
xi

1
2
3
4
5
×

2
4
6
8
10

4
6
8
10
12

3
5
7
9
11
×

razem

m −
A=
=
s
(

)

20
50
50
70
10

200

=−

-4
-2
0
2
4
×

64
8
0
8
64
×

-1280
-400
0
560
640

-480

 

PRZYKŁAD 1a (przykładowe obliczenia dla firmy C)



Materiały do wykładu 4 ze Statystyki















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

firma C

0,50

częstość

0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
3

5

7
Stawka [zł/godz.]

9

11



firma B

 

firma A

Struktura płac



Materiały do wykładu 4 ze Statystyki



 

















©

Materiały do wykładu 4 ze Statystyki

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

MIARY KONCENTRACJI
Trzy dotychczas omówione grupy miar (tj. miary poło enia,
rozproszenia i asymetrii) w sposób wyczerpujący opisują strukturę
badanej zbiorowości.
Uzupełnieniem tego opisu są miary koncentracji.
Istnieje bowiem ścisły związek pomiędzy koncentracją a
rozproszeniem: im mniejsze rozproszenie tym większa koncentracja.
I na odwrót.

Zjawisko koncentracji mo e być rozwa ane jako
nierównomierny podział ogólnej sumy wartości cechy
pomiędzy poszczególne jednostki badanej zbiorowości.
Do oceny stopnia koncentracji stosujemy dwie metody.
1. Metoda numeryczna – wyznaczanie odpowiednich
wskaźników liczbowych (współczynnik skupienia inaczej
kurtoza, współczynnik koncentracji Lorenza).

2. Metoda graficzna – wykreślanie i analiza tzw. krzywej
koncentracji Lorenza.



 

















©

Materiały do wykładu 4 ze Statystyki

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

Współczynnik skupienia (kurtoza)
Kurtoza (K) nale y do klasycznych miar koncentracji.
Uwaga!!! Jest ona pracochłonna w liczeniu.

m
K=
s

gdzie:

s – odchylenie standardowe

Licznik powy szego ułamka (m4) wyliczamy odmiennie dla ka dego
sposobu pogrupowania materiału statystycznego. I tak:
n

m =

∑ (x − x )
n
i

- szereg szczegółowy

i=
k

m =

∑ (x − x ) n
n

- szereg rozdzielczy punktowy

&
∑ (x − x ) n
n

- szereg rozdzielczy przedziałowy

i

i

i=
k

m =

i

i=

i

Im większa wartość kurtozy (K), tym większa koncentracja
(diagram wy szy i smuklejszy).
Zjawiska społeczne, gospodarcze, przyrodnicze ... są najczęściej
opisywane tzw. rozkładem normalnym (przykłady diagramów takiego
rozkładu pokazano w wykładzie 3 na stronach 3 i 4).
Kurtoza w rozkładzie normalnym jest zawsze równa trzy (K=3).

W praktyce policzoną kurtozę porównujemy z kurtozą
rozkładu normalnego. I tak je eli:
• K>3 - rozkład badanej cechy jest wy szy i smuklejszy od
rozkładu normalnego
• K

Podobne prace

Do góry