Ocena brak

Statystyka - analiza dynamiki zjawisk

Autor /weronika Dodano /15.03.2011

Wymagany Adobe Flash Player wesja 10.0.0 lub nowsza.

praca w formacie pdf Statystyka - analiza dynamiki zjawisk

Transkrypt

















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

1. szereg czasowy, chronologiczny (momentów, okresów)
2. średni poziom zjawiska w czasie (średnia arytmetyczna,
średnia chronologiczna)
3. miary dynamiki (indeksy indywidualne, agregatowe)
4. średnie tempo zmian zjawiska w czasie
5. wygładzanie szeregu czasowego (mechaniczne,
analityczne)
6. analiza wahań okresowych (wskaźniki sezonowości)

SZEREG CZASOWY
Szereg czasowy { yt } - uporządkowany ciąg wyników
obserwacji zjawiska w czasie.
Szeregi czasowe dzielimy na szeregi:
1. okresów (poziomy zjawiska w całych okresach)
2. momentów (poziomy zjawiska w ustalonych momentach
okresów)
PRZYKŁAD 1
t

Pojazdy
rok

(okres lub
moment)
1
2
3
4
5
6
7

1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
razem

stan na 31.XII
[tys.]
11186
11766
12284
12709
13169
14106
14724
×

Wypadki
w roku
56904
57911
66586
61855
55106
57331
53799

409492



ANALIZA DYNAMIKI ZJAWISK



Materiały do wykładu 5 ze Statystyki

 

















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

W przykładzie 1 mamy następujące szeregi:
„Wypadki” - szereg okresów (łączna liczba wypadków w ka dym roku)
„Pojazdy” - szereg momentów (w ka dym roku stan na 31.XII)

Średni poziom zjawiska w czasie
Średni poziom zjawiska w czasie liczymy odmiennie w zale ności od rodzaju
szeregu:
1. średnia arytmetyczna dla szeregu okresów
n

y=

∑y
n

t

t=

2. średnia chronologiczna dla szeregu momentów

y + y + L + yn− +
n−

ych =

yn

W przykładzie 1 mamy następujące średnie poziomy zjawisk:
„Wypadki” - szereg okresów (łączna liczba wypadków w ka dym roku)

y=

+

+L+

+

=

W latach 1995-2001 średnia roczna liczba wypadków drogowych
wyniosła 58499 wypadków.
„Pojazdy” - szereg momentów (w ka dym roku stan na 31.XII)

+
ych =

+L+


+
=

W latach 1995-2001 średnio w roku zarejestrowanych było
12832 tys. pojazdów samochodowych.



Materiały do wykładu 5 ze Statystyki



 

















©

Materiały do wykładu 5 ze Statystyki

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

MIARY DYNAMIKI

Miary dynamiki o podstawie stałej
(JEDNOPODSTAWOWE)
Określają one zmiany jakie następowały w kolejnych okresach (momentach)
t w odniesieniu do okresu (momentu) podstawowego (bazowego) t*.
Ogólnie okresem (momentem) bazowym mo e być dowolny okres (moment)
k, tj. t*=k.
Dalej (dla wygody) przyjmiemy, e okresem bazowym będzie pierwszy okres,
okres, tj. t*=1.
Miary dynamiki o podstawie ruchomej
(ŁAŃCUCHOWE)
Określają one zmiany jakie następowały w kolejnych okresach (momentach)
t w odniesieniu do okresu (momentu) bezpośrednio poprzedzającego)
tj. t*= t - 1.



 

















©

Materiały do wykładu 5 ze Statystyki

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

Przyrosty ABSOLUTNE
Określają one o ile wzrósł (zmalał) poziom zjawiska w okresie badanym (t) w
porównaniu z jego poziomem w okresie przyjętym za podstawę porównania
(t*).
Przyrosty absolutne są mianowane tak samo jak badana cecha.
• jednopodstawowe (t*=1)

∆t = yt − y

• łańcuchowe (t*=t-1)

∆t t − = yt − yt −

PRZYKŁAD 2

t

Wypadki

1
2
3
4
5
6
7

przyrosty absolutne

56904
57911
66586
61855
55106
57331
53799

jednopodstawowe

0
1007
9682
4951
-1798
427
-3105

łańcuchowe

1007
8675
-4731
-6749
2225
-3532

Przykładowo dla okresu t=5 mamy:
Przyrost absolutny jednopodstawowy



=y −y =



=−

Przyrost absolutny łańcuchowy



=y −y =



=−

Przyrost absolutny informuje o ile jednostek
wzrósł (znak plus) lub zmalał (znak minus)
poziom badanego zjawiska w okresie t
w stosunku do poziomu z okresu t* będącego podstawą porównania.



 

















©

Materiały do wykładu 5 ze Statystyki

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

Przyrosty WZGLĘDNE
(wskaźniki tempa zmian)
Określają one stosunek przyrostu absolutnego w okresie badanym (t) do jego
poziomu w okresie przyjętym za podstawę porównania (t*).
Przyrosty względne są wielkościami niemianowanymi.
Wyra amy je zawsze w ułamkach ale interpretujemy w procentach.

∆t

yt − y
dt =
=
y
y
∆t t −
y − yt −
dt t − =
= t
yt −
yt −

• jednopodstawowe (t*=1)

• łańcuchowe (t*=t-1)
PRZYKŁAD 3

t

Wypadki

1
2
3
4
5
6
7

przyrosty względne

56904
57911
66586
61855
55106
57331
53799

jednopodstawowe

łańcuchowe

0,000
0,018
0,170
0,087
-0,032
0,008
-0,055

0,018
0,150
-0,071
-0,109
0,040
-0,062

Przykładowo dla okresu t=5 mamy przyrost względny:



¢

¡
¢

• łańcuchowy

d

=

¡

• jednopodstawowy

d

=

y




=−

¡

£

¤

y

=



=−

£

=

£
¤

Do interpretacji nale y zawsze pomno yć wynik przez 100%
(w pamięci).
Przyrost względny (wskaźnik tempa zmian) informuje o ile %
wzrósł (znak plus) lub zmalał (znak minus)
poziom badanego zjawiska w okresie t
w stosunku do poziomu z okresu t* będącego podstawą porównania.

 

















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

Indywidualne INDEKSY DYNAMIKI
Określają one stosunek poziomu zjawiska w okresie badanym (t)
do jego poziomu w okresie przyjętym za podstawę porównania (t*).
Indeksy dynamiki są wielkościami niemianowanymi.
Wyra amy je zawsze w ułamkach ale interpretujemy w procentach.

it =

• jednopodstawowe (t*=1)

it t −

• łańcuchowe (t*=t-1)

yt
= + dt
y
y
= t = + dt t −
yt −

PRZYKŁAD 3

t
1
2
3
4
5
6
7

indeksy indywidualne

Wypadki
56904
57911
66586
61855
55106
57331
53799

jednopodstawowe

łańcuchowe

1,000
1,018
1,170
1,087
0,968
1,008
0,945

1,018
1,150
0,929
0,891
1,040
0,938

Przykładowo dla okresu t=5 mamy indywidualny indeks dynamiki:

y
=
y
y
=
=
y
¢

• jednopodstawowy

i =

• łańcuchowy

i

=

¡

¢

¡

¤

=

£

£

¤

Do interpretacji nale y zawsze odjąć od indeksu jeden i
pomno yć wynik przez 100% (w pamięci). Otrzymamy w ten
sposób przyrost względny w %.
Tak „spreparowany” indeks dynamiki informuje o ile %
wzrósł (znak plus) lub zmalał (znak minus)
poziom badanego zjawiska w okresie t
w stosunku do poziomu z okresu t* będącego podstawą porównania.



Materiały do wykładu 5 ze Statystyki

 

















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

ŚREDNIE TEMPO ZMIAN
zjawiska w czasie
Średnie tempo zmian zjawiska w czasie wyznacza się jako średnią
geometryczną z indeksów łańcuchowych:

iG = n− in n− × in −

n−

× L× i × i

Je eli w liczeniu indeksów jednopodstawowych przyjmiemy okres pierwszy
jako bazowy (t*=1), to wzór ten upraszcza się do:

iG = n− in
Dla szeregu „Wypadki” średnie tempo zmian liczby wypadków wynosi:

iG =



=

i

=

Średniookresowe tempo zmian zjawiska w czasie wyznacza się jako:

Tn = iG −
Do interpretacji nale y zawsze pomno yć wynik przez 100%
(w pamięci).
W ciągu badanych n okresów poziom badanego zjawiska
rósł (znak plus) lub malał (znak minus)
średnio z okresu na okres o wyliczoną wartość (%).
Dla szeregu „Wypadki” średniookresowe tempo zmian liczby wypadków
wynosi:

Tn = iG − =

− =−

Interpretacja:
W ciągu 7 kolejnych lat (1995-2001) liczba wypadków drogowych w Polsce
malała (znak minus) średnio z roku na rok o 0,94% (malała średnio o 0,94%
w stosunku do roku poprzedniego).



Materiały do wykładu 5 ze Statystyki



 

















©

Materiały do wykładu 5 ze Statystyki

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

Analiza dynamiki zjawisk na WYKRESACH
Dynamika zjawiska (zjawisk) mo e być wizualizowana za pomocą wykresów.
W celu uniknięcia pomyłek zwracaj szczególną uwagę na dopiski w tytule.
Je eli dopisek brzmi:
• rok, miesiąc, itp. poprzedni = 1 (lub ... = 100), to oglądasz wykres
dynamiki opisanej indeksami łańcuchowymi;
• rok xxxx = 1, miesiąc xx = 1, itp. (lub ... = 100), to oglądasz wykres
dynamiki opisanej indeksami o stałej podstawie, którą jest okres
podany w dopisku.

Dynamika liczby pojazdów i wypadków w Polsce
w latach 1995-2001 (rok 1995 = 1)
Pojazdy
Wypadki

1,400
1,200
1,000
0,800
0,600
1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

Dynamika liczby pojazdów i wypadków w Polsce
w latach 1995-2001 (rok poprzedni = 1)
Pojazdy
Wypadki

1,200
1,100
1,000
0,900
0,800
1996

1997

1998

1999

2000

2001















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

t

DANE
SZUKANE
Wypadki (it / 1)
łańcuchowe
(jednopod.: t*=1)
(t*=t-1)

1
2
3
4
5
6
7

1,000
1,018
1,170
1,087
0,968
1,008
0,945

t

DANE
Wypadki (it / t-1)
(łańcuch.: t*=t-1)

1
2
3
4
5
6
7

t

1
2
3
4
5
6
7

1,018
1,150
0,929
0,891
1,040
0,938
DANE
Wypadki (it / t-1)
(łańcuch.: t*=t-1)

1,018
1,150
0,929
0,891
1,040
0,938

1,018
1,149
0,929
0,891
1,041
0,938
SZUKANE
jednopod.
(t*=1)

1,000
1,018
1,171
1,088
0,969
1,008
0,945
SZUKANE
jednopod.
(t*=4)

0,919
0,936
1,076
1,000
0,891
0,927
0,869

przeliczenie
nie istnieje (def.)
1,018 / 1,000
1,170 / 1,018
1,087 / 1,170
0,968 / 1,087
1,008 / 0,968
0,945 / 1,008

przeliczenie
z definicji
1,018
1,150*1,018
0,929*1,150*1,018
0,891*0,929*1,150*1,018
1,040*0,891*0,929*1,150*1,018
0,938*1,040*0,891*0,929*1,150*1,018

przeliczenie
1 / (0,929*1,150*1,018)
1 / (0,929*1,150)
1 / 0,929
z definicji
0,891
1,040*0,891
0,938*1,040*0,891



1. jednopodstawowe (t*=1) na łańcuchowe
2. łańcuchowe na jednopodstawowe (t*=1)
3. łańcuchowe na jednopodstawowe (t*>1; np. t*=4)

 

PRZELICZANIE INDEKSÓW



Materiały do wykładu 5 ze Statystyki















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

3. Sporządzić wykresy dynamiki wypadkowości (łańcuchowo i
jednopodstawowo (t*=1)).



2. Wyznaczyć nowy szereg czasowy „Wypadkowość” (liczba wypadków
na 1000 pojazdów) i wykonać dla niego polecenie 1.



1. Dla szeregu „Pojazdy” policzyć i zinterpretować miary dynamiki
jednopodstawowe (t*=1) oraz łańcuchowe:
przyrosty absolutne,
przyrosty względne,
indeksy dynamiki,
średnioroczne tempo zmian oraz
przeliczyć indeksy łańcuchowe na jednopodstawowe (t*=4).

 

Do domu:



Materiały do wykładu 5 ze Statystyki





















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

INDEKSY WARTOŚCI, CEN, ILOŚCI
Indeksy INDYWIDUALNE
PRZYKŁAD 4
Jan Kowalski” uruchomił w miesiącu wrześniu własną działalność i
zajął się sprzeda ą środków czystości.
We wrześniu i w październiku handlował proszkiem. W tabeli
przedstawiono podstawowe dane z jego działalności.
0
jest numerem września
1
jest numerem października
q
oznacza ilość
p
oznacza cenę
w
oznacza wartość

wyrób
proszek

wrzesień
ilość cena

październik
ilość cena

q0
200

q1
300

p0
5

wrzes. paźdz.
wartość

p1 q0*p0 q1*p1
6 1000 1800

Wartość sprzedanego towaru w okresie t policzymy jako iloczyn ilości i ceny.
Indeks wartości (Iw) sprzedanego towaru policzymy jako stosunek wartości
sprzeda y w październiku do wartości sprzeda y we wrześniu.

Iw =

qp
=
q p

=

Wartość sprzedanego towaru w październiku wzrosła w stosunku do
września o 80%.
Indeks ilości (Iq) sprzedanego towaru policzymy jako stosunek ilości
sprzedanej w październiku do ilości sprzedanej we wrześniu.

q
Iq = =
q

=

Ilość sprzedanego towaru w październiku wzrosła w stosunku do
wrześniowej o 50%.



Materiały do wykładu 5 ze Statystyki















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

Cena sprzedanego towaru w październiku wzrosła w stosunku do
wrześniowej o 20%.
Równość indeksowa (zasada) mówi:
je eli wartość powstaje jako iloczyn ilość razy cena,
to indeks wartości mo na wyrazić równie jako
iloczyn indeksu ilości razy indeks ceny.

Iw = Iq × I p =

×

=

Powy sza zasada ma uniwersalne znaczenie.
”Je eli zjawisko Z powstaje jako iloczyn zjawisk X i Y,
to dynamikę zjawiska Z mo emy wyrazić indeksem,
który jest iloczynem indeksu dla zjawiska X oraz indeksu dla zjawiska Y.”



=



p
Ip =
=
p

 

Indeks ceny (Ip) sprzedanego towaru policzymy jako stosunek ceny
sprzeda y w październiku do ceny sprzeda y we wrześniu.



Materiały do wykładu 5 ze Statystyki



 



















©

Materiały do wykładu 5 ze Statystyki

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

Indeksy AGREGATOWE
(wielkości absolutnych)
PRZYKŁAD 5
„Jan Kowalski” rozszerzył w listopadzie swoją działalność.
W listopadzie i w grudniu handlował ju pięcioma produktami. W
tabeli przedstawiono podstawowe dane z jego działalności.
0
jest numerem listopada
1
jest numerem grudnia
Reszta oznaczeń pozostaje bez zmian.
Dla uproszczenia pomijamy numerowanie wyrobów.
listopad

grudzień

proszek
mydło
pasta
szampon
płyn

q0
350
600
1200
500
300

p0
6
3
3
4
4

q1
450
650
1500
600
250

p1
4
2
4
3
3

razem

×

×

×

×

wartość
q0*p0
2100
1800
3600
2000
1200
10700

q1*p1
1800
1300
6000
1800
750
11650

q0*p1
1400
1200
4800
1500
900
9800

q1*p0
2700
1950
4500
2400
1000
12550

Indeks wartości (Iw) sprzedanego towaru policzymy jako stosunek wartości
sprzeda y w grudniu do wartości sprzeda y w listopadzie.

Iw =

∑q p
∑q p

wyroby

=

=

wyroby

Wartość sprzedanego towaru w grudniu wzrosła w stosunku do listopada
o 8,9% .
Pamiętaj o zasadzie interpretacji indeksu: [1,089−1]×100% = +8,9% !!!
− ×















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

wyroby

indeks ilości Laspeyresa

wyroby

P Iq =

∑q p
∑q p

wyroby

indeks ilości Paaschego

wyroby

Indeksy cen
LIp =

∑q p
∑q p

wyroby

indeks cen Laspeyresa

wyroby

PIp =

∑q p
∑q p

wyroby

wyroby

indeks cen Paaschego



L Iq =

∑q p
∑q p



Indeksy ilości

 

W obu okresach sprzedawane były ró ne ilości towarów i po ró nych
cenach.
Z wyznaczeniem dynamiki ilości oraz dynamiki cen jest teraz problem,
którego precyzyjnie nie mo na rozwiązać.
W obu przypadkach musimy posłu yć się indeksami wartości, które
przybli ą nam nieznaną dynamikę ilości albo dynamikę cen.
1. Je eli badamy dynamikę ilości, to przyjmujemy stałe ceny z okresu:
• bazowego (indeks ilości Laspeyresa) albo
• bie ącego (indeks ilości Paaschego).
2. Je eli badamy dynamikę cen, to przyjmujemy stałe ilości z okresu:
• bazowego (indeks cen Laspeyresa) albo
• bie ącego (indeks cen Paaschego).



Materiały do wykładu 5 ze Statystyki



















©

©

¢

¨

£

§

¦

¤

¥

¤

£

¢

 

¡

 

Indeksy ilości

I =

=

I =

=

L q

P q

indeks ilości Laspeyresa
indeks ilości Paaschego

W grudniu ilość sprzedanych towarów wzrosła pomiędzy 17,3% a 18,9% w
porównaniu z listopadem.

Indeksy cen
L

Ip =

=

P

Ip =

=

indeks cen Laspeyresa
indeks cen Paaschego

W grudniu ceny sprzedanych towarów spadły pomiędzy 7,2% a 8,4% w
porównaniu z listopadem.

Równości indeksowe.
I w = L I q ×P I p =

×

=

I w = P I q ×L I p =

×

=

 

W przykładzie mamy:



Materiały do wykładu 5 ze Statystyki

Podobne prace

Do góry