Ocena brak

Statyka i dynamika płynów

Autor /vanessa Dodano /07.03.2011

Wymagany Adobe Flash Player wesja 10.0.0 lub nowsza.

praca w formacie pdf Statyka i dynamika płynów

Transkrypt

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 14
14. Statyka i dynamika płynów
Z makroskopowego punktu widzenia powszechnie przyjęty jest podział materii na
ciała stałe i płyny. Pod pojęciem substancji, która może płynąć rozumiemy ciecze i gazy. Dla ciał sztywnych, mających określony rozmiar i kształt, sformułowaliśmy mechanikę ciał sztywnych. Do rozwiązywania zagadnień z mechaniki płynów musimy wprowadzić nowy formalizm ponieważ płyny łatwo zmieniają kształt, a w przypadku gazów
przyjmują objętość równą objętości naczynia. Wygodnym jest w związku z tym sformułowanie zasad dynamiki Newtona wraz z prawami opisującymi siły w szczególny sposób.
14.1

Ciśnienie i gęstość

Różnica w działaniu siły powierzchniowej na płyn i na ciało stałe polega na tym, że
dla cieczy siła powierzchniowa musi być zawsze prostopadła do powierzchni płynu
podczas gdy w ciele stałym może mieć dowolny kierunek. Spoczywający płyn nie może
równoważyć sił stycznych (warstwy płynu ślizgałyby się po sobie) i dlatego może
zmieniać kształt i płynąć. Wygodnie jest więc opisywać siłę działającą na płyn za pomocą ciśnienia p zdefiniowanego jako wartość siły prostopadłej działającej na jednostkę powierzchni. Ciśnienie jest przekazywane na sztywne ścianki naczynia, a także na
dowolne przekroje płynów prostopadle do tych ścianek i przekrojów w każdym punkcie. Ciśnienie jest wielkością skalarną.
W układzie SI jednostką jest (pascal), 1 Pa = 1 N/m2. Innymi jednostkami są bar (1 bar
= 105 Pa), atmosfera (1 atm = 101325 Pa), mm Hg (760 mm Hg = 1 atm).
Płyn znajdujący się pod ciśnieniem wywiera siłę na każdą powierzchnię będącą z
nim w kontakcie. Rozważmy zamkniętą powierzchnię zawierającą płyn (rysunek).

S
S

Dowolny element powierzchni jest reprezentowany przez wektor S (długość równa powierzchni, kierunek prostopadły, zwrot na zewnątrz). Wtedy siła F wywierana przez
płyn na ten element powierzchni wynosi
F = pS

(14.1a)

Ponieważ F i S mają ten sam kierunek więc ciśnienie p można zapisać

14-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

p = F/S

(14.1b)

Do opisu płynów stosujemy pojęcie gęstości ρ:

ρ = m/V

(14.2)

Gęstość zależy od wielu czynników takich jak temperatura, ciśnienie. W tabeli przedstawiony jest zakres wartości gęstości spotykanych w przyrodzie.
Materiał
przestrzeń międzygwiezdna
najlepsza próżnia laboratoryjna
powietrze (1 atm 0 °C)
powietrze (50 atm 0 °C)
Ziemia: wartość średnia
rdzeń
skorupa
Białe karły
jądro uranu

14.2

ρ (kg/m3)
10-18 - 10-21
10-17
1.3
6.5
5.52·103
9.5·103
2.8·103
108 - 1015
1017

Zmiany ciśnienia wewnątrz nieruchomego płynu

Gdy płyn znajduje się w równowadze to jego każda część jest w równowadze. Rozpatrzmy element w kształcie cienkiego dysku znajdującego się w odległości y od poziomu odniesienia. Grubość dysku wynosi dy, a powierzchnia każdej strony wynosi S.
Masa takiego elementu wynosi ρSdy, a jego ciężar ρgSdy. Przypominam, że siły działające na element są w każdym punkcie prostopadłe do powierzchni (rysunek).

(p+dp)S

pS
y

poziom odniesienia y=0
Siły poziome wywołane jedynie przez ciśnienie płynu równoważą się. Siły pionowe są
wywoływane nie tylko przez ciśnienie płynu ale też przez jego ciężar. Element płynu
nie jest przyspieszany więc wypadkowa siła działająca nań musi być zerem. Dla zachowania równowagi w pionie trzeba więc by:

14-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

pS = (p+dp)S + ρgSdy
a stąd
dp
= − ρg
dy
Równanie to pokazuje, że ciśnienie zmienia się ze zmianą wysokości ponad pewien poziom odniesienia. Gdy wysokość rośnie tzn. dy > 0 wtedy dp < 0 tzn. ciśnienie maleje.
Powodem jest ciężar warstwy płynu leżącej pomiędzy punktami, dla których mierzymy
różnicę ciśnień. Dla cieczy zazwyczaj ρ jest stałe (ciecze są praktycznie nieściśliwe),
różnice w wysokości nie są na tyle duże żeby uwzględniać zmiany g więc możemy dla
jednorodnej cieczy zapisać powyższe równanie w postaci:
∆p
= − ρg
∆y
stąd

(p2 − p1) = -ρg(y2 − y1)

Jeżeli powierzchnia cieczy jest swobodna to stanowi naturalny poziom odniesienia. Aby
przenieść poziom odniesienia na powierzchnię przyjmujemy y2 równe wzniesieniu tej
powierzchni. Wtedy ciśnienie p2 (na powierzchni) jest równe ciśnieniu atmosferycznemu p0. Teraz y1 opisuje położenie (wysokość) pewnego poziomu w cieczy. Ciśnienie na
tym poziomie oznaczmy p. Wtedy
p0 − p = -ρg(y2 − y1)
Ponieważ y2 - y1 jest głębokością h poniżej poziomu cieczy więc
p = p0 +ρgh

(14.3)

Związek ten nie tylko pokazuje, że ciśnienie rośnie wraz z głębokością ale też, że jest
jednakowe dla punktów o tej samej głębokości.
Dla gazów ρ jest małe i różnica ciśnień w dwóch punktach jest zazwyczaj do pominięcia i dlatego można przyjmować, że ciśnienie gazu w naczyniu jest wszędzie jednakowe. Nie jest to jednak prawdziwe, gdy mamy do czynienia ze znaczną różnicą wysokości (gdy wznosimy się w atmosferze). Ciśnienie zmienia się wtedy znacznie, zmienia się
też ρ. Np. na wysokości około 6 km ciśnienie wynosi 0.5 atm. Dla porównania 6 km w
głąb morza wynosi 600 atm.

14-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

14.3

Prawo Pascala i prawo Archimedesa

Na rysunku widzimy ciecz w naczyniu zamkniętym tłokiem, na który możemy działać ciśnieniem zewnętrznym p0.
p0

h
A

W każdym punkcie A znajdującym się na głębokości h od górnej powierzchni cieczy,
ciśnienie jest dane wyrażeniem
p = p0 + ρgh
Możemy powiększyć ciśnienie zewnętrzne o wartość ∆p0. Ponieważ ciecze są nieściśliwe więc gęstość pozostaje praktycznie bez zmian i dlatego ciśnienie teraz wynosi
p = p0 +∆p0+ ρgh
Wynik ten został sformułowany przez Blaise Pascala i nazywa się prawem Pascala.
Prawo to formułuje się następująco: ciśnienie wywierane na zamknięty płyn jest przekazywane niezmienione na każdą część płynu oraz na ścianki naczynia.
Prawo to jest konsekwencją praw mechaniki płynów podobnie jak prawo Archimedesa.
Kiedy ciało jest zanurzone w całości lub częściowo w spoczywającym płynie (cieczy
lub gazie) to płyn ten wywiera ciśnienie na każdą, będącą z nim w kontakcie, część powierzchni ciała. Wypadkowa siła jest skierowana ku górze i zwie się siłą wyporu.

Ponieważ ciśnienie wywierane na ciało nie zależy od materiału, z którego zrobiono ciało więc zastąpmy w naszym rozumowaniu rozpatrywane ciało przez ten sam płyn co
płyn otoczenia. Na ten płyn będzie działało to samo ciśnienie co na ciało, które zastąpił.
14-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Poza tym płyn będzie nieruchomy. Stąd działająca nań siła będzie równa ciężarowi płynu i skierowana ku górze tak, żeby ten ciężar zrównoważyć. Otrzymujemy prawo Archimedesa: ciało w całości lub częściowo zanurzone w płynie jest wypierane ku górze
siłą równą ciężarowi wypartego przez to ciało płynu. Tak więc
Fwyporu = mwypartego płynu g = ρVg

(14.4)

gdzie ρ jest gęstością płynu, a V objętością części zanurzonej ciała.
14.4

Pomiar ciśnienia (barometr)

Evangelista Torricelli wynalazł w 1643 r barometr rtęciowy i tym samym podał sposób pomiaru ciśnienia atmosferycznego. Barometr Torricellego składa się z rurki wypełnionej rtęcią (ρ = 13.6·103 kg/m3), którą odwracamy nad naczyniem z rtęcią tak jak
na rysunku.

p=0
h
A

B

Ciśnienia w punktach A i B muszą być jednakowe bo punkty te są na jednakowej
wysokości. Zgodnie z naszymi uprzednimi rozważaniami
pA = ρgh
podczas gdy
pB = patm
Ponieważ pA = pB więc

ρgh = patm
h=

p atm
= 0.76 m
ρg

Mierząc wysokość słupa rtęci mierzymy wielkość ciśnienia atmosferycznego.
Przejdziemy teraz do opisu ruchu płynu (dynamika płynów).

14-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

14.5

Ogólny opis przepływu płynów

Znane są dwa podejścia do opisu ruchu płynu. Pierwsze wymaga "podzielenia" płynu na nieskończenie małe cząstki (elementy objętości) i śledzenie tych elementów.
Oznacza to, że dla każdej cząstki mamy współrzędne x, y, z i ich zależność od czasu. W
ten sposób skonstruować można opis ruchu płynu (Joseph Louis Lagrange koniec XVIII
w).
Drugie podejście zaproponowane przez Leonharda Eulera jest bardziej wygodne.
Zamiast opisywać historię każdej z cząstek określamy gęstość płynu i jego prędkość
w każdym punkcie przestrzeni i w każdej chwili czasu. Czyli podajemy ρ(x,y,z,t) oraz
v(x,y,z,t). Oznacza to, że koncentrujemy się na wybranym punkcie przestrzeni w pewnym czasie.
Na wstępie rozpatrzmy pewne ogólne właściwości charakteryzujące przepływ.
• Przepływ może być ustalony (laminarny) lub nieustalony. Ruch płynu jest ustalony,
kiedy prędkość płynu v jest w dowolnie wybranym punkcie stała w czasie tzn. każda
cząstka przechodząca przez dany punkt zachowuje się tak samo. Warunki takie osiąga
się przy niskich prędkościach.
• Przepływ może być wirowy lub bezwirowy. Przepływ jest bezwirowy, gdy w żadnym
punkcie cząstka nie ma wypadkowej prędkości kątowej względem tego punktu. Można
sobie wyobrazić małe kółko z łopatkami zanurzone w przepływającym płynie. Jeżeli
kółko nie obraca się to przepływ jest bezwirowy, w przeciwnym razie ruch jest wirowy.
• Przepływ może być ściśliwy lub nieściśliwy. Zazwyczaj przepływ cieczy jest nieściśliwy (stała ρ). Przepływ gazu też może być nieściśliwy tzn. zmiany gęstości są nieznaczne. Np. ruch powietrza względem skrzydeł samolotu podczas lotu z prędkością
mniejszą od prędkości głosu.
• Przepływ może być lepki lub nielepki. Lepkość w ruchu płynów jest odpowiednikiem tarcia w ruchu ciał stałych (lepkość smarów).
W naszych rozważaniach ograniczymy się do przepływów ustalonych, bezwirowych,
nieściśliwych i nielepkich. To znacznie upraszcza matematykę.
Nasze rozważania rozpoczniemy od wprowadzenia pojęcia linii prądu.
R
Q

P
vP

vR

VQ

W przepływie ustalonym v jest stała w czasie w danym punkcie. Rozważmy punkt P
wewnątrz płynu. Każda cząstka ma tam taką samą prędkość. To samo dla punktów Q
i R. Jeżeli prześledzimy tor jednej cząstki to prześledziliśmy zarazem tor każdej cząstki
przechodzącej przez P. Tor tej cząstki nazywamy linią prądu. Linia prądu jest równoległa do prędkości płynu. Żadne linie prądu nie mogą się przecinać bo istniała by niejednoznaczność w wyborze drogi przez cząstkę (a przepływ jest ustalony).
Jeżeli wybierzemy pewną skończoną liczbę linii prądu to taką wiązkę nazywamy strugą
prądu. Brzegi składają się z linii prądu więc płyn nie może przepływać przez brzegi
strugi. Płyn wchodzący jednym końcem strugi musi opuścić ją drugim.

14-6

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

A2

Q, v2

A1
P, v1

Na rysunku obok prędkość cząstek w punkcie P wynosi v1 a pole przekroju strugi A1.
W punkcie Q odpowiednio v2 i A2. W czasie ∆t element płynu prze-bywa odległość
v∆t. Masa płynu przechodzącego przez A1 w czasie ∆t wynosi
∆m1 = ρ1A1v1∆t
bo A1v1∆t stanowi objętość elementu płynu. Wprowadzamy strumień masy jako ∆m/∆t.
Wtedy otrzymujemy dla punktów P i Q odpowiednio
∆m1/∆t = ρ1A1v1
oraz

∆m2/∆t = ρ2A2v2

Ponieważ nie ma po drodze (między P i Q) żadnych "źródeł" ani "ścieków" więc
strumienie mas muszą być sobie równe.

ρ1A1v1 = ρ2A2v2
Jeżeli płyn jest nieściśliwy to ρ1 = ρ2 i wtedy
A1v1 = A2v2
czyli
Av = const.
Z równania powyższego wynika, że prędkość płynu nieściśliwego przy ustalonym przepływie jest odwrotnie proporcjonalna do pola przekroju. Linie prądu muszą się zagęszczać w węższej części, a rozrzedzać w szerszej. Tzn. rzadko rozmieszczone linie oznaczają obszary niskiej prędkości, linie rozmieszczone gęsto obszary wysokiej prędkości.
Ponadto warto zauważyć, że skoro cząstki zwalniają przepływając z P do Q (v1 > v2) to
poruszają się ruchem jednostajnie opóźnionym. Opóźnienie to może być wywołane
grawitacją lub różnicą ciśnień, ale wystarczy wziąć jako przykład strugę poziomą, w
której grawitacja się nie zmienia, aby dojść do wniosku, że ciśnienie jest największe
tam gdzie prędkość najmniejsza (w przepływie ustalonym).

14-7

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

14.6

Równanie Bernoulliego

Rozważmy nielepki, ustalony, nieściśliwy przepływ płynu przez rurę (rysunek poniżej). Ciecz na rysunku płynie w stronę prawą. W czasie ∆t powierzchnia S1 przemieszcza się o odcinek v1∆t do położenia S1'. Analogicznie powierzchnia S2 przemieszcza się
o odcinek v2∆t do położenia S2'. Na powierzchnię S1 działa siła F1 = p1S1 a na powierzchnię S2 siła F2 = p2S2. Zwróćmy uwagę, że efekt sumaryczny przepływu płynu
przez rurkę polega na przeniesieniu pewnej objętości V płynu ograniczonej powierzchniami S1S1' do położenia S2S2'.

Twierdzenie o pracy i energii mówi, że praca wykonana przez wypadkową siłę jest
równa zmianie energii układu. Siłami, które wykonują pracę są F1 i F2. Obliczamy więc
pracę
W = F2v 2 ∆t − F1v 1∆t = p 2 S 2v 2 ∆t − p1 S1v 1∆t = ( p 2 − p1 )V
oraz zmianę energii strugi
2
 mv 2
  mv 12

∆E = 
+ mgh2  − 
 2
  2 + mgh1 


 


Ponieważ
W = ∆E
to przy założeniu nieściśliwości płynu (ρ = const)
2
 mv 2
  mv 12


( p 2 − p1 )V = 
+ mgh2  − 
+ mgh1 
  2

 2
 


Związek ten można przekształcić do postaci

14-8

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

p1 +

2
ρ v 12
ρv 2
+ ρ gh1 = p 2 +
+ ρ gh2
2
2

czyli
p+

1
ρv 2 + ρgy = const.
2

(14.5)

Równanie to nosi nazwę równania Bernoulliego dla przepływu ustalonego, nielepkiego
i nieściśliwego. Jest to podstawowe równanie mechaniki płynów. Może być stosowane
do wyznaczenia prędkości płynu na podstawie pomiarów ciśnienia (rurka Venturiego,
rurka Pitota). Można też w oparciu o nie wyznaczyć dynamiczną siłę nośną.
14.6.1 Dynamiczna siła nośna
Dynamiczna siła nośna jest to siła jaka działa na np. skrzydło samolotu, nartę wodną, śmigło helikoptera, i wywołana jest ruchem tych ciał w płynie w odróżnieniu od statycznej siły nośnej, która jest siła wyporu działającą np. na balon czy statek zgodnie z
prawem Archimedesa. Na rysunku poniżej pokazane są schematycznie linie prądu wokół skrzydła samolotu.

Analizując te linie prądu zauważymy, że ze względu na ustawienie skrzydła (kąt natarcia) linie prądu nad skrzydłem są rozmieszczone gęściej niż pod skrzydłem. Tak więc
vg ponad skrzydłem jest większa niż pod skrzydłem vd a to oznacza zgodnie z prawem
Bernoulliego, że ciśnienie nad skrzydłem jest mniejsze od ciśnienia pod skrzydłem i
otrzymujemy wypadkową siłę nośną F skierowaną ku górze. Wynika to również z trzeciej zasady dynamiki Newtona. Prędkość v0 powietrza zbliżającego się do skrzydła jest
pozioma podczas gdy powietrze za skrzydłem jest skierowane na ukos w dół (składowa
pionowa). Oznacza to, że skrzydło pchnęło powietrze w dół więc w reakcji powietrze
pchnęło skrzydło do góry.

14-9

Podobne prace

Do góry