Ocena brak

Ruch obrotowy

Autor /vanessa Dodano /07.03.2011

Wymagany Adobe Flash Player wesja 10.0.0 lub nowsza.

praca w formacie pdf Ruch obrotowy

Transkrypt

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 12
12. Ruch obrotowy
12.1

Wstęp

Mówiąc o środku masy wspominaliśmy o ruchu obrotowym oraz o toczeniu się ciał.
Dużym ułatwieniem w analizie układów cząstek jest możliwość rozpatrywania oddzielnego ruchu postępowego i ruchu obrotowego. Aby wprowadzić to uproszczenie zdefiniujemy dwie nowe wielkości: moment pędu i moment siły. Zasada zachowania momentu pędu jest równie istotna jak zasada zachowania pędu i zasada zachowania energii.
12.2

Kinematyka ruchu obrotowego

Musi w pierwszym kroku wypracować ujęcie matematyczne dla ruchu obrotowego.
Dla ruchu obrotowego wielkością analogiczną do przesunięcia jest przesunięcie kątowe θ. Kąt θ określa położenie punktu względem układu odniesienia. Dla ruchu po okręgu, z definicji miary łukowej kąta θ = S/R. (w radianach).

R

S
θ

Kątową analogią prędkości v = dx/dt jest prędkość kątowa ω.

ω=


dt

(12.1)

Dla ruchu po okręgu v = ω R.
W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu ω jest nazywane częstością kątową i jest
związana z częstotliwością f relacją

ω = 2πf
Podobnie jak przyspieszenie liniowe a = dv/dt zostało zdefiniowane przyspieszenie kątowe α.

α=


dt

(12.2)

12-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Dla ruchu po okręgu związek pomiędzy a i α jest analogiczny do związku pomiędzy v
i ω tzn. a = αR. Możemy teraz np. podać opis ruchu obrotowego ze stałym przyspieszeniem α poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.
Ruch postępowy
a = const
v = v0 + at
s = s0 + v0t + (1/2)at2

Ruch obrotowy
α = const
ω = ω0 + αt
θ =θ0 + ω0t + (1/2)αt2

Kierunek i zwrot wektorów prędkości kątowej ω i przyspieszenia kątowego α w ruchu
obrotowym przyspieszonym (1) i opóźnionym (2) są pokazane na rysunku poniżej.

1)

2)
α
ω

ω
α

12.3

Dynamika ruchu obrotowego

12.3.1 Moment siły
W ruchu postępowym siłę wiążemy z liniowym przyspieszeniem ciała. Jaką wielkość będziemy wiązać z przyspieszeniem kątowym?
Nie może być to tylko siła bo jak pokazuje doświadczenie np. z otwieraniem drzwi
przyspieszenie kątowe zależy od tego gdzie i pod jakim kątem jest przyłożona siła. W
szczególności siła przyłożona w miejscu zawiasów zarówno wzdłuż jak i prostopadle
do nich nie wytwarza żadnego przyspieszenia. Natomiast siła przyłożona do drzwi na
ich zewnętrznej krawędzi i pod kątem prostym nadaje im maksymalne przyspieszenie.
Dla ruchu obrotowego odpowiednikiem siły w ruchu postępowym jest moment siły
(tzw. moment obrotowy) τ.
Jeżeli siła F działa na cząstkę to moment siły jest definiowany jako
τ = r×F

(12.3)

gdzie wektor r reprezentuje położenie cząstki względem wybranego inercjalnego układu odniesienia. Moment siły jest wielkością wektorową, której wartość bezwzględna

12-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

wynosi: τ = rFsinθ (iloczyn wektorowy). Wielkość r nazywamy ramieniem siły (widać,
że bierzemy albo r⊥ albo F⊥).
12.3.2 Moment pędu
Zdefiniujmy teraz wielkość, która w ruchu obrotowym odgrywa rolę analogiczną do
pędu. Wielkość L będziemy nazywać momentem pędu i definiujemy ją
L=r× p

(12.4)

gdzie p jest pędem cząstki, a r reprezentuje położenie cząstki względem wybranego inercjalnego układu odniesienia. Wartość L wynosi rpsinθ i analogicznie do momentu siły
wielkość rsinθ nazywamy ramieniem pędu.
Istnieje bezpośrednia zależność pomiędzy momentem siły i momentem pędu. Zacznijmy od znanej zależności, że siła F = dp/dt (dla pojedynczej cząstki). Mnożąc wektorowo obie strony przez r otrzymujemy
r×F = r×

dp
dt

r × F jest momentem siły τ więc
τ =r×

dp
dt

(12.5)

Teraz przechodzimy do równania na moment pędu L = r×p i różniczkujemy je obustronnie względem czasu, otrzymując
d L d(r × p) d r
dp
=
=
× p+r×
dt
dt
dt
dt
ponieważ dr/dt = v więc
dL
dp
= (v × mv ) + r ×
dt
dt
Wiemy, że v × mv = 0 (z definicji iloczynu wektorowego), więc
dL
dp
= r×
dt
dt

(12.6)

Porównanie równań (12.5) i (12.6) prowadzi do wniosku, że
τ=

dL
dt

(12.7)

12-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Widzimy, że wypadkowy moment siły działający na cząstkę jest równy prędkości
zmian momentu pędu tej cząstki.
12.3.3 Zachowanie momentu pędu
Dla układu n cząstek możemy zsumować równanie (12.7) po wszystkich cząstkach

∑τ

i

i

=

d 
 d Lwypadkowy
 ∑ Li  =
dt  i
dt


(12.8)

Zauważmy, że jeżeli na układ nie działa zewnętrzny moment siły (lub suma = 0) to
moment pędu układu pozostaje stały.
d Lwypadkowy
dt

= 0 ⇒ Lwypadkowy = const .

Przykład 1
Osoba stoi na stoliku obrotowym i w obu rękach trzyma hantle, mając rozłożone
ramiona. Popychamy ją, tak aby obracała się z częstotliwością f1 = 0.5 obrotów na sekundę. Wtedy osoba zgina ramiona, przyciągając hantle do tułowia. Jaka jest częstotliwość jej obrotów? Załóżmy, że hantle początkowo znajdujące się 80 cm od osi obrotu,
zostają ściągnięte do odległości 10 cm od osi. Masa hantli jest taka, że obracająca się
osoba ma taki sam moment pędu jak hantle w odległości 80 cm od osi obrotu.
Początkowo moment pędu hantli wynosi
Lh1 = R1mv1 = R1m(ω1R1) = mω1(R1)2
gdzie m jest masą pary hantli. Moment pędu układu osoba-hantle wynosi więc
L1 = Lo1 + mω1(R1)2
Ponieważ Lo1 = Lh1 więc Lo1 = mω1(R1)2.
Dla hantli w odległości R2 moment pędu układu wynosi
L2 = Lo2 + mω2(R2)2
Stosując zasadę zachowania pędu otrzymujemy
L1 = L2
czyli:

Lo1 + mω1(R1)2 = Lo2 + mω2(R2)2

Pamiętając, że Lo2 = Lo1ω2/ω1 ponieważ L ∼ ω rozwiązujemy to równanie względem ω2

12-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

ω 2 = ω1

2 R12
2
R12 + R2

ω2 = 1.97 ω1
Prędkość obrotów rośnie dwukrotnie.
Przykład 2
Rower jedzie ze stałą prędkością gdy siła działająca pomiędzy nawierzchnią i kołem
F2 = 4 N. Z jaką siłą F1 łańcuch musi ciągnąć zębatkę jeżeli stosunek R2/R1 = 10?
F1
R1
R2
F2

Ponieważ prędkość kątowa jest stała więc dL/dt = 0 i co za tym idzie
τwypadkowy = (τ1 - τ2) = 0
czyli
τ1 = τ2
Stąd
R1F1 = R2F2
więc
F1 = (R2/R1)F2 = 40N
12.4

Ciała sztywne i moment bezwładności

Większość mas w przyrodzie to nie cząstki tylko rozciągłe ciała stałe, które mogą
wykonywać zarówno ruch postępowy jak i obrotowy. Przez ciała stałe, sztywne, rozumiemy ciała, w których odległość między dwoma wybranymi elementami pozostaje stała.
Przeanalizujmy ruch takiej bryły obracającej się ze stałą prędkością kątowa ω wokół
stałej osi w układzie środka masy (rysunek). Zauważmy, że różne części ciała mają różną prędkość liniową v chociaż tą samą kątową ω. Dla potrzeb opisu ciało możemy podzielić na elementy o masie ∆mi odległe od osi obrotu o ri. Wtedy prędkość takiego
elementu wynosi vi = riω.

12-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

ω

∆mi
ri
vi

Wartość momentu pędu L tego ciała można obliczyć


L = ∑ ri ∆miv i = ∑ ri ∆mi (riω ) =  ∑ ri 2 ∆mi ω
i
i
 i

Wielkość w nawiasie nazywamy momentem bezwładności I, który definiujemy jako
I = ∑ ri 2 ∆mi
i

a dla ciągłego rozkładu masy mamy
I = ∫ r 2 dm

(12.9)

Zwróćmy uwagę, że I zależy od osi obrotu. Możemy teraz zapisać moment pędu
L = Iω

(12.10)

a ponieważ τ = dL/dt więc

τ =I


= Iα
dt

(12.11)

Energia kinetyczna w układzie środka masy
Ek =

1
1
1

∑ ∆miv i2 = 2 ∑ ∆mi (riω ) 2 = 2  ∑ ∆mi ri2 ω 2
2 i
i
 i


więc

12-6

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Ek =

1 2

2

(12.12)

Zestawmy teraz obliczone wielkości z ich odpowiednikami dla ruchu postępowego.
Ruch postępowy
p = mv
F = ma
Ek = (1/2) mv2

Ruch obrotowy
L= Iω
τ = Iα
Ek = (1/2)Iω2

Teraz widzimy, że moment bezwładności I jest analogiczną wielkością do masy m w
ruchu postępowym. Chociaż masa ciała nie zależy od jego położenia to moment bezwładności zależy od osi, wokół której obraca się ciało. Momenty bezwładności niektórych ciał są podane w tabeli.
Ciało
Obręcz, pierścień względem osi ⊥ przez środek
Krążek, walec względem osi ⊥ przez środek
Pręt wokół osi ⊥ przez środek
Pręt wokół osi ⊥ przez koniec
Pełna kula wokół osi przez środek
Czasza kulista wokół osi przez środek

I
mR2
mR2/2
ml2/12
ml2/3
2mR2/5
2mR2/3

Często do obliczania momentu bezwładności wygodnie jest posłużyć się twierdzeniem Steinera. Podaje ono zależność pomiędzy momentem bezwładności I ciała względem danej osi, a momentem bezwładności Iśr.m. tego ciała względem osi przechodzącej
przez jego środek masy i równoległej do danej.
I = Iśr.m. + md2

(12.13)

gdzie m jest masą ciała, a d odległością pomiędzy osiami.
12.5

Ruch postępowo-obrotowy ciała sztywnego

Rozpatrywaliśmy ruch obrotowy ciała względem osi nieruchomych. Jednakże gdy
ciało się toczy to wykonuje zarówno ruch postępowy, jak i obrotowy. Dlatego też toczenie możemy traktować jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego tak jak pokazano to na rysunku poniżej dla toczącego się walca.
W ruchu postępowym, rysunek (a), wszystkie punkty poruszają się z takimi samymi
prędkościami, natomiast w ruchu obrotowym, rysunek (b), przeciwległe punkty poruszają się z przeciwnymi prędkościami, a środek jest nieruchomy. Na rysunku (c) pokazano wynik złożenia (sumowania) odpowiednich wektorów z rysunków (a) i (b).

12-7

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Zwróćmy uwagę, że podstawa walca (punkt P styczności z podłożem na rysunku poniżej) w każdej chwili spoczywa (v = 0). Natomiast prędkość liniowa każdego innego
punktu jest w każdej chwili prostopadła do linii łączącej ten punkt z podstawą P i proporcjonalna do odległości tego punktu od P. Oznacza to, że walec obraca się wokół
punktu P. Oznacza to, że możemy toczenie opisywać również jako "czysty" ruch obrotowy ale względem osi przechodzącej przez punkt P styczności z powierzchnią, po której toczy się ciało.

Przykład 3
Krążek i kula o masach m i promieniach R staczają się po równi pochyłej o wysokości h
Obliczyć ich prędkości u dołu równi.
Z zasady zachowania energii
mgh = (1/2)mv2 + (1/2)Iω2
Ponieważ ω = v/R więc
mgh = (1/2)mv2 + (1/2)I(v/R)2
Przekształcając

12-8

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

v2 =

2mgh
I
m+ 2
R

Dla krążka I = mR2/2 więc
v=

4
gh
3

v=

10
gh
7

podczas gdy dla kuli I = 2mR2/5 więc

Zauważmy, że odpowiedź nie zależy od masy i promienia ale zależy tylko od kształtu.
Gdyby te ciała zsuwały się (bez tarcia) to v = 2 gh dla obu brył.
Ten sam przykład możemy rozwiązać traktując toczenie wyłącznie jako ruch obrotowy
ale wtedy musimy skorzystać z twierdzenia Steinera, żeby obliczyć moment bezwładności względem osi przechodzącej przez punkt styczności z powierzchnią.
12.6

Ruch precesyjny (bąk)

Inny przykładem ruchu obrotowego, w którym oś obrotu nie jest nieruchomą w inercjalnym układzie odniesienia jest bąk wirujący dookoła pewnej osi symetrii. Punkt
podparcia bąka znajduje się w początku inercjalnego układu odniesienia. Z doświadczenia wiemy, że oś wirującego bąka porusza się dookoła osi pionowej, zakreślając powierzchnię stożka. Taki ruch nazywamy precesją.
W sytuacji przedstawionej na rysunku poniżej bąk ma prędkość kątową ω dookoła
swej osi. Ma również moment pędu L względem tej osi, która tworzy kąt θ z osią pionową.
z

z

L
∆L
L

r

ωp
L+∆L

θ

θ θ
mg

y

y

τ
x

∆ϕ

τ
x

12-9

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Na bąk działają dwie siły: siła w punkcie podparcia działa w górę i siła ciężkości przyłożona do środka masy działa w dół. Siła reakcji działająca w górę ma zerowy moment
bo ma zerowe ramię (względem punktu podparcia). Ciężar mg wytwarza jednak moment siły względem punktu podparcia:

τ = r×F = r×mg
gdzie r określa położenie środka masy. Z iloczynu wektorowego wynika, że τ jest prostopadłe do r i do mg.
Zauważmy, że τ, L i r wirują dokoła osi pionowej z częstością precesji ωp.
Obliczymy teraz kątową precesję ωp.

ωp =

∆ϕ
∆t

Ponieważ ∆L

Podobne prace

Do góry