Ocena brak

Ruch na plaszczyznie

Autor /vanessa Dodano /07.03.2011

Wymagany Adobe Flash Player wesja 10.0.0 lub nowsza.

praca w formacie pdf Ruch na plaszczyznie

Transkrypt

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 3
3. Ruch na płaszczyźnie
Ruch w dwóch wymiarach będziemy opisywać w układzie współrzędnych x i y.
Np. y - wysokość, x - odległość w kierunku poziomym. Pokażemy, że taki ruch można
traktować jak dwa niezależne ruchy jednowymiarowe.
3.1 Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie.
Położenie punktu w chwili t przedstawia wektor r; prędkość wektor v; przyspieszenie wektor a. Wektory r, v, a są wzajemnie zależne od siebie i dadzą się przedstawić
(za pomocą wersorów i, j, k czyli wektorów jednostkowych) w postaci
r = ix + jy
dr
dx
dy
=i
+j
= iv x + jv y
v=
dt
dt
dt
dv y
dv
dv
a=
=i x + j
= ia x + ja y
dt
dt
dt
Czy trzeba stosować rozkładanie wektorów na składowe?
Przykład 1
Żaglówka płynąca pod wiatr (pod kątem 45° do kierunku wiatru). Siła, którą wiatr działa na żagiel, popycha łódkę prostopadle do płaszczyzny żagla. Ze względu na kil (i ster)
łódź może poruszać się wzdłuż osi kila. Składowa siły w tym kierunku (Fx) ma zwrot
w kierunku ruchu.

wiatr
Fx
oś kila

żagiel

Ruch ze stałym przyspieszeniem oznacza, że nie zmienia się kierunek ani wartość przyspieszenia tzn. nie zmieniają się również składowe przyspieszenia.
Rozpatrzymy teraz przypadek punkt materialnego poruszającego się wzdłuż krzywej
leżącej na płaszczyźnie.
Rozpoczniemy od napisania równań dla ruchu jednostajnie przyspieszonego

3-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

a = const
v = v0 + at
r = r0 + v0t + (1/2) at2
Prześledźmy teraz dodawanie wektorów na wykresie. Przykładowo punkt porusza się z
przyspieszeniem a = [2,1], prędkość początkowa v0 = [1,2], a położenie początkowe, r0
= [1,1]. Szukamy położenia ciała np. po t = 1s i t = 3s dodając odpowiednie wektory tak
jak na rysunku obok.
Powyższe równania wektorowe są równoważne równaniom w postaci skalarnej:
Równania opisujące ruch wzdłuż
osi x
ax = const
vx = vx0t + axt
x = x0 + vx0t + (1/2) axt2

Równania opisujące ruch wzdłuż
osi y
ay = const
vy = vy0t + ayt
y = y0 + vy0t + (1/2) ayt2

Przykładem na którym prześledzimy ruch krzywoliniowy ze stałym przyspieszeniem
jest rzut ukośny.
3.2 Rzut ukośny
Rzut ukośny to ruch ze stałym przyspieszeniem g [0, -g] skierowanym w dół. Jest
opisywany przez równania podane powyżej w tabeli. Przyjmijmy, że początek układu
współrzędnych pokrywa się z punktem, z którego wylatuje ciało tzn. r0 = 0.

v0sinθ

v0
θ
v0cosθ

Prędkość w chwili początkowej t = 0 jest równa v0 i tworzy z kąt θ z dodatnim kierunkiem osi x. Zadaniem naszym jest: znaleźć prędkość i położenie ciała w dowolnej chwi3-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

li, opisać tor, znaleźć zasięg. Składowe prędkości początkowej (zgodnie z rysunkiem)
wynoszą odpowiednio
vx0 = v0 cosθ

i

vy0 = v0 sinθ

Prędkość w kierunku x (poziomym)
vx = vx0 + axt
ponieważ ax = 0 więc: vx = v0 cosθ, czyli w kierunku x ruch jest jednostajny (składowa
x prędkości jest stała)
W kierunku y (pionowym)
vy = vy0 + ayt
ponieważ gy = -g więc

vy = v0 sinθ – gt

Wartość wektora wypadkowego prędkości w dowolnej chwili wynosi
2
v = vx + v2
y

więc
2
v = v 0 − 2v 0 gt sin θ + g 2t 2

(3.1)

Teraz obliczamy położenie ciała
x = v0xt
czyli

x = v0 cosθ t

(3.2)

y = v0yt+(1/2)ayt2
czyli

y = v0 sinθ t – (1/2)gt2

(3.3)

Długość wektora położenia r można teraz obliczyć dla dowolnej chwili t z zależności
r = x2 + y2
Sprawdźmy po jakim torze porusza się nasz obiekt tzn. znajdźmy równanie krzywej
y(x). Mamy równania x(t) i y(t). Równanie y(x) obliczymy eliminując t z równań (3.2) i
(3.3). Z równania (3.2)
t = x/v0 cosθ
więc równanie (3.3) przyjmuje postać

3-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

y = (tgθ ) x −

g
x2
2(v 0 cosθ ) 2

(3.4)

Otrzymaliśmy równanie paraboli (ramionami w dół).
Z równania paraboli obliczamy zasięg Z czyli znajdziemy miejsca zerowe. Do równania
(3.3) wstawiamy x = Z oraz y = 0 i otrzymujemy po przekształceniach dwa miejsca zerowe
Z=0
oraz
2
2v 2 sin θ cosθ v 0
Z= 0
=
sin 2θ
(3.5)
g
g
Z równania (3.4) wynika, że zasięg jest maksymalny gdy θ = 45°.
Zauważmy, że omawiany ruch odbywa się po linii krzywej.
W poprzednich wykładach mówiliśmy o przyspieszeniu zmieniającym wartość prędkości, a nie jej kierunek (zwrot). Mówiliśmy o przyspieszeniu stycznym.
Rozpatrzmy teraz sytuacje gdy wartość prędkości się nie zmienia a zmienia się kierunek.
3.3 Ruch jednostajny po okręgu
Rozważmy zamieszczony obok rysunek. Punkt P - położenie punktu materialnego w
chwili t, a P' - położenie w chwili t + ∆t. Wektory v, v' mają jednakowe długości ale
różnią się kierunkiem; są styczne do toru (krzywej) odpowiednio w punktach P i P'.

v'

r
P'
v

∆v

O
θ

v'
θ

v

P

Przerysujmy wektory v i v' zaznaczając zmianę prędkości ∆v. Zauważmy, że kąt pomiędzy tymi wektorami jest taki sam jak kąt na pierwszym rysunku. Zaznaczone trójką∆v l
ty są podobne więc :
= , gdzie l jest długością łuku (pod warunkiem, że l jest barr
v
dzo małe (l→0)). Stąd
∆v = vl/r.
a ponieważ
l = v ∆t
więc

∆v = v2 ∆t/r

Ostatecznie
a = ∆v/∆t
3-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

więc
a=

v2
r

(3.6)

To przyspieszenie nazywamy przyspieszeniem normalnym (w odróżnieniu od stycznego) bo jest prostopadłe do toru. W przypadku ruchu po okręgu kierunek prostopadły do
toru jest skierowany do środka i dlatego takie przyspieszenie nazywamy również przyspieszeniem dośrodkowym. Przyspieszenie normalne zmienia kierunek prędkości.
Często wyraża się to przyspieszenie przez okres T. Ponieważ
v = 2πr/T
więc

a = 4π2r/T2

Przykład 2
Jakiego przyspieszenia dośrodkowego, wynikającego z obrotu Ziemi, doznaje ciało
będące na równiku? RZ = 6370 103 m, T = 8.64 104 sec.
a = 0.0034 m/s2.
Stanowi to 0.35 % przyspieszenia ziemskiego g = 9.81 m/s2.
Przy założeniu, że Ziemia jest kulą waga na równiku jest mniejsza (np. łatwiej pobić
rekord w skoku wzwyż).
Prześledźmy teraz przykład, w którym zmienia się i wartość i kierunek prędkości.
Wracamy do rzutu ukośnego. Przyspieszenie g (jedyne) jest odpowiedzialne za zmianę
zarówno wartości prędkości jak i jej kierunku.
Prezentacja graficzna z zaznaczeniem przyspieszenia stycznego i normalnego (jako
składowych g) jest przedstawiona poniżej.

as
g

ar

Teraz obliczymy obie składowe przyspieszenia.
a) Przyspieszenie styczne
as =

dv
dt

Przypomnijmy, że zależność v(t) w rzucie ukośnym jest dana równaniem (3.1)
2
( v = v 0 − 2v 0 gt sin θ + g 2t 2 ).
3-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Stąd
aS =

gt − v 0 sin θ
v − 2v 0 gt sin θ + g 2t 2
2
0

g

b) Przyspieszenie dośrodkowe
Jak wynika z rysunku
a r = g 2 − a s2
lub
a=

v2
ale trzeba umieć obliczyć promień krzywizny w każdym punkcie toru.
r

3-6

Podobne prace

Do góry