Ocena brak

Ruch drgający

Autor /vanessa Dodano /07.03.2011

Wymagany Adobe Flash Player wesja 10.0.0 lub nowsza.

praca w formacie pdf Ruch drgający

Transkrypt

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 13
13. Ruch drgający
Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić
za pomocą funkcji sinus i cosinus. Ruch sinusoidalny jest powszechną formą ruchu obserwowaną w życiu codziennym i dlatego jest ważnym przedmiotem fizyki.
13.1

Siła harmoniczna

Działającą na ciało siłę, która jest proporcjonalna do przesunięcia ciała od początku
układu i która jest skierowana ku początkowi układu, nazywamy siłą harmoniczną lub
siłą sprężystości. Jeżeli obierzemy oś x wzdłuż przesunięcia, to siła harmoniczna jest
wyrażona równaniem
F = – kx

(13.1)

gdzie x jest przesunięciem od położenia równowagi. To równanie opisuje siłę wywieraną przez rozciągniętą sprężynę o ile tylko sprężyna nie została rozciągnięta poza granicę
sprężystości. To jest prawo Hooke'a.
Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak aby masa m (zaczepiona do sprężyny) znalazła się w położeniu x = A, a następnie w chwili t = 0 została zwolniona, to położenie
masy w funkcji czasu będzie dane równaniem
x = Acosωt
Sprawdźmy czy to jest dobry opis ruchu. Dla t = 0, x = A tzn. opis zgadza się z założeniami. Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika, że
– kx = ma
czyli
– kx = m(dv/dt)
wreszcie

– kx = m(d2x/dt2)

(13.2)

Równanie takie nazywa się równaniem różniczkowym drugiego rzędu. Staramy się
"odgadnąć" rozwiązanie i następnie sprawdzić nasze przypuszczenia. Zwróćmy uwagę,
że rozwiązaniem jest funkcja x(t), która ma tę właściwość, że jej druga pochodna jest
równa funkcji ale ze znakiem "–". Zgadujemy, że może to być funkcja x = Acosωt
i sprawdzamy
dx/dt = v = – Aωsinωt

(13.3)

d2x/dt2 = a = – Aω2cosωt

(13.4)

13-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Podstawiamy ten wynik do równania (13.2)
(– kAcosωt) = m(– Aω2cosωt)
i otrzymujemy

ω2 = k/m

(13.5)

Widzimy, że x = Acosωt jest rozwiązaniem równania (13.2) ale tylko gdy ω = k / m .
Zwróćmy uwagę, że funkcja x = Asinωt jest również rozwiązaniem równania ale nie
spełnia warunku początkowego bo gdy t = 0 to x = 0 (zamiast x = A).
Najogólniejszym rozwiązaniem jest
x = Asin(ωt + ϕ)

(13.6)

gdzie ϕ jest dowolną stałą fazową. Stałe A i ϕ są określone przez warunki początkowe.
Wartości maksymalne (amplitudy) odpowiednich wielkości wynoszą:
• dla wychylenia
A
• dla prędkości
ωA (występuje gdy x = 0)
• dla przyspieszenia
ω2A (występuje gdy x = A)
13.2

Okres drgań

Funkcja cosωt lub sinωt powtarza się po czasie T dla którego ωT = 2π. Ta szczególna wartość czasu jest zdefiniowana jako okres T
T = 2π/ω

(13.7)

Liczba drgań w czasie t jest równa
n = t/T
Gdy podzielimy obie strony przez t, otrzymamy liczbę drgań w jednostce czasu
n 1
=
t T
Lewa strona równania jest z definicji częstotliwością drgań f
f =

1
T

Dla ruchu harmonicznego ω = k / m więc otrzymujemy
T = 2π

m
k

(13.8)

13-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Jest to okres drgań masy m przyczepionej do końca sprężyny o stałej sprężystości k.
Przykład 1
Dwie masy, m1 i m2, są przyczepione do przeciwnych końców sprężyny. Jaki będzie
okres drgań, gdy rozciągniemy sprężynę, a następnie zwolnimy obie masy jednocześnie? Stała sprężyny wynosi k.
Niech x1 będzie przesunięciem masy m1 od położenia równowagi, a x2 odpowiednim
przesunięciem masy m2. Zauważmy, że środek masy musi pozostawać nieruchomy.
Zatem
m
m1x1 = – m2x2,
czyli
x1 = − 2 x2
m1
Zastosujmy teraz do wybranej masy np. m2 równanie Fwypadkowa = ma. Siłą wypadkową,
działającą na m2 jest siła F = – k (x2 – x1) gdzie (x2 – x1) jest wypadkowym rozciągnięciem sprężyny.
d 2 x2
− k ( x 2 − x1 ) = m2
dt 2
m
Podstawiamy teraz x1 = − 2 x2 zamiast x1 i otrzymujemy
m1

 m

d 2 x2
− k  x 2 −  − 2 x 2  = m2
 m

dt 2
1



czyli
d 2 x2
k (m1 + m2 )
=−
x2
2
m1 m2
dt
więc
d 2 x2
k
= − x2
2
µ
dt
gdzie µ = m1m2/(m1 + m2) jest z definicji masą zredukowaną. To jest równanie jakie już
rozwiązywaliśmy, w którym zamiast x jest x2 a zamiast m jest µ.
Tak więc ω = k / µ czyli
T = 2π

µ
k

Zwróćmy uwagę, że okres drgań harmonicznych T jest niezależny od amplitudy drgań A
(o ile jest spełnione prawo Hooke'a). Tę właściwość drgań harmonicznych prostych zauważył Galileusz i wykorzystał ją do skonstruowania zegara wahadłowego.

13-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

13.3

Wahadła

13.3.1 Wahadło proste
Wahadło proste jest to wyidealizowane ciało o masie punktowej, zawieszone na
cienkiej, nieważkiej, nierozciągliwej nici. Kiedy ciało wytrącimy z równowagi to zaczyna się ono wahać w płaszczyźnie poziomej pod wpływem siły ciężkości. Jest to ruch
okresowy. Znajdźmy okres tego ruchu.

θ
l
N
m
θ

x=lθ
mgsinθ

mgcosθ

mg
Rysunek przedstawia wahadło o długości l i masie m, odchylone o kąt θ od pionu.
Na masę m działają: siła przyciągania grawitacyjnego mg i naprężenia nici N. Siłę mg
rozkładamy na składową radialną i styczną. Składowa styczna jest siłą przywracającą
równowagę układu i sprowadza masę m do położenia równowagi. Siła ta wynosi
F = mgsinθ
Podkreślmy, że siła jest proporcjonalna do sinθ, a nie do θ, więc nie jest to ruch prosty
harmoniczny. Jeżeli jednak kąt θ jest mały (mniejszy niż 10°) to sinθ jest bardzo bliski
θ (różnica mniejsza niż 0.5%). Przemieszczenie wzdłuż łuku (z miary łukowej kąta)
wynosi x = lθ. Przyjmując zatem, że sinθ ≅ θ otrzymujemy
F = −mgθ = −mg

x
mg
=−
x
l
l

F jest więc proporcjonalna do przemieszczenia (ze znakiem "–"). Jest to kryterium ruchu harmonicznego. Stała mg/l określa stałą k w równaniu F = – kx. Przy małej amplitudzie okres wahadła prostego wynosi więc
T = 2π

m
l
= 2π
k
g

(13.9)

Zauważmy, że okres wahadła nie zależy od amplitudy i od masy wahadła.
13-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

13.3.2 Wahadło fizyczne
Dowolne ciało sztywne zawieszone tak, że może się wahać wokół pewnej osi przechodzącej przez to ciało nazywamy wahadłem fizycznym.

P

l
S
θ

mg
P jest punktem zawieszenia ciała, a punkt S, znajdujący się w odległości l od punkt P,
jest środkiem masy. Moment siły τ działający na ciało wynosi

τ = – mglsinθ
Korzystając ze związku

τ = Iα =I(d2θ /dt2)
otrzymujemy
− mgl sin θ = I

d2 θ
dt2

Dla małych wychyleń, dla których sinθ ≅ θ dostajemy równanie
d2 θ
 mgl 
= −
θ
2
dt
 I 
To równanie ma tę samą postać co równanie dla ruchu harmonicznego więc

ω=

mgl
I

lub
T = 2π

I
mgl

(13.10)

Jako przypadek szczególny rozpatrzmy masę punktową zawieszoną na nici o długości l.
Wówczas I = ml2 i otrzymujemy znany wzór dla wahadła prostego

13-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

T = 2π

l
g

Wahadło fizyczne stosuje się do precyzyjnych pomiarów przyspieszenia g.
13.4

Energia ruchu harmonicznego prostego

Energią potencjalną sprężyny zajmowaliśmy się na wykładzie 6 przy okazji dyskusji
o pracy wykonywanej przez siły zmienne. Pokazaliśmy wtedy, że energia potencjalna
(nagromadzona) sprężyny
Ep =

kx 2
2

(13.11)

Jeżeli masę przymocowaną do sprężyny pociągniemy na odległość x = A to energia
układu (nagromadzona w układzie) jest równa (1/2)kA2 (Ek = 0). Jeżeli teraz zwolnimy
sprężynę, to przy założeniu, że nie ma tarcia ani sił oporu, zgodnie z zasadą zachowania
energii w dowolnej chwili suma energii kinetycznej i potencjalnej równa się (1/2)kA2
1
1
1
mv 2 + kx 2 = kA 2
2
2
2
stąd
v2 =
Ponieważ k/m = ω2 więc

(

k 2
A − x2
m

(13.12)

)

v = ω A2 − x 2
Obliczmy teraz wartości średnie czasowe) energii potencjalnej i kinetycznej. (Wartości
średnie oznaczamy kreską umieszczoną ponad symbolem.)
Ep =

1 2
kx
2

czyli
Ep =

1 2
kA cos 2 ωt
2

Natomiast
Ek =

1
mv 2
2

czyli
Ek =

1 k 
1 2 2
2
 2  (−ωA sin ωt ) = kA sin ωt
2 ω 
2

13-6

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wartość średnia sin 2 ωt jest taka sama jak cos 2 ωt i wynosi 1/2. Oba wykresy są takie
same (tylko przesunięte). Poza tym sin2ωt + cos2ωt = 1 i średnia każdego składnika jest
taka sama. Widać, że
E p = Ek
(Ważne gdy będziemy omawiać ciepło właściwe.)
Przykład 2
Obliczmy jaką część energii całkowitej stanowi energia potencjalna, a jaką energia kinetyczna ciała, kiedy znajduje się ono w połowie drogi między położeniem początkowym, a położeniem równowagi?
x = A/2
więc
Ep = kx2/2 = kA2/8
Ponieważ energia całkowita

E = kA2/2

więc
Ep/E = 1/4
Ponieważ
E = Ep + Ek
więc
Ek/E = 3/4
13.5

Oscylator harmoniczny tłumiony

Dotychczas pomijaliśmy fakt ewentualnego tłumienia oscylatora tzn. strat energii
układu oscylatora.
W przypadku drgań mechanicznych siłą hamującą (tłumiącą) ruch cząstki jest siła oporu
Fop ośrodka. Siła oporu ma zwrot przeciwny do prędkości i w najprostszej postaci jest
wprost proporcjonalna do prędkości Fop ≈ v czyli
Fop = γ dx/dt

(13.13)

Gdy działa tylko siła tłumienia to
d2 x
dx
M
= −γ
2
dt
dt
lub

13-7

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

M

dv
= −γv
dt

Jeżeli wprowadzimy zmienną (o wymiarze czasu)

τ = M/γ
to otrzymamy równanie

dv/dt = – (1/τ)v

co można przepisać w postaci

dv/v = – dt/τ

Całkujemy to równanie obustronnie
v

t

dv
1
∫ v = −τ ∫dt
0
v0
Skąd otrzymujemy
lnv - lnv0 = – (t/τ)
lub
ln(v/v0) = – (t/τ)
a po przekształceniu
v (t ) = v 0 e −t / τ

(13.14)

Prędkość maleje wykładniczo z czasem czyli prędkość jest tłumiona ze stałą czasową τ
(rysunek).
v

t
Jeżeli włączymy siłę hamującą do oscylatora to wówczas równanie ruchu przyjmie postać
d2 x
dx
= − kx − γ
M
2
dt
dt
Wprowadzając τ = M/γ oraz oznaczając częstość drgań nietłumionych ω02 = (k/M)
otrzymujemy

13-8

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

d2 x 1 d x
2
+
+ ω0 x = 0
2
τ dt
dt

(13.15)

Szukamy rozwiązania w postaci drgań okresowo zmiennych tłumionych np.
x = Ae − β t cos ω t

(13.16)

Rozwiązanie zawiera czynnik oscylacyjny (cosωt) i tłumiący (exp(-βt)) i jest pokazane
na rysunku poniżej. Współczynnik β = 1/2τ określający wielkość tłumienia nazywamy
współczynnikiem tłumienia.
Teraz obliczamy odpowiednie pochodne (13.16) i podstawiamy do równania
(13.15). W wyniku rozwiązania dostajemy warunek na częstość drgań tłumionych
2
ω = ω0 − β 2

(13.17)

Opór zmniejsza więc (oprócz amplitudy) również i częstość
Funkcja (13.16) jest rozwiązaniem równania opisującego ruch harmoniczny tłumiony przy warunku (13.17). Widzimy, że opór zmniejsza zarówno amplitudę jak i częstość
drgań, czyli powoduje spowolnienie ruchu. Wielkość tłumienia określa współczynnik
tłumienia β (lub stała czasowa τ). Wykres ruchu harmonicznego tłumionego w zależności od czasu jest pokazany na rysunku

x
A
Ae

-β t
-β t

Ae cos ω t
0
-Ae
-A

-β t

t

Powyższe rozważania dotyczą sytuacji "słabego tłumienia" tj. β < ω0. Gdy tłumienie
wzrośnie powyżej pewnej krytycznej wartości (β = ω0) ruch nie jest ruchem drgającym
ale obserwujemy, że ciało wychylone z położenia równowagi powraca do niego asymptotycznie. Takich ruch nazywamy ruchem pełzającym (aperiodycznym). Zależności wy-

13-9

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

chylenia od czasu dla ruchu tłumionego krytycznie (β = ω0) i ruchu pełzającego
(β > ω0) są pokazane na wykresie poniżej.

X

β > ω0
β = ω0

t

13.5.1 Straty mocy, współczynnik dobroci
Współczynnik dobroci Q jest definiowany jako
Q = 2π

E zmagazynowana
E straconaw1okresie

= 2π

E
E
=
P / v P /ω

(13.18)

gdzie P jest średnią stratą mocy, a v częstotliwością.
Dla przypadku słabo tłumionego oscylatora harmonicznego (β

Podobne prace

Do góry