Ocena brak

Rozkład Poissona

Autor /Encyklopedia Zarządzania Dodano /06.04.2011

Charakterystyka

Rozkład Poissona jest jednym z rozkładów zmiennej losowej ciągłej. Jest to rozkład asymetryczny. Nazwę wziął od nazwiska osoby, która go wprowadziła. Był to Simeon-Denis Poisson i opisał ten rozkład w swoim dziele: "Procedes des Ragles Generales du Calcul des Probabilites. Bachelier, Imprimeur-Libraire pour les Mathematiques", wydanym w Paryżu w 1837.


Rozkład Poissona jest przybliżeniem rozkładu dwumianowego dla dużej próby oraz małego prawdopodobieństwa sukcesu.


Załóżmy, że przy wykonaniu bardzo dużej liczby niezależnych doświadczeń prawdopodobieństwo sukcesu jest w każdym przypadku jednakowe i bliskie zera.


Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, jeżeli zbiorem jej wartości jest {0,1,2,...} oraz


<center><math>P_{k} P (X k) = \frac {\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}</math></center>


Przyjmując oznaczenia z rozkładu dwumianowego można to zapisać równoznacznie:


<center><math>P_{k} P (X k) = \frac {np^{k}}{k!}e^{-np}</math></center>

  • gdzie:
  • n - liczba doświadczeń, przyjmująca duże wartości dla rozkładu Poissona
  • p - prawdopodobieństwo sukcesu

Mówimy, że rozkład Poissona jest rozkładem jednoparametrycznym, gdyż funkcja prawdopodobieństwa zależy od wartości λ. (M. Woźniak 2002, s.119)


Histogram dla rozkładu Poissona o parametrze równym 3 wygląda następująco:


Poissona.png|center


Parametry


Najważniejsze parametry przyjmują dla rozkładu Poissona następujące wartości:


Wartość oczekiwana: λ


Mediana: wynosi około <math>\lambda + \frac{1}{3} + \frac {0,02} {\lambda}</math>


Moda: największa liczba całkowita mniejsza lub równa λ


Wariancja: λ


Skośność: <math>\lambda^{\frac {1}{2}}</math>


Kurtoza: <math>\lambda^{-1}</math>


Własności


Dla λ dążącego do nieskończoności rozkład Poissona może być przybliżony rozkładem normalnym o średniej λ i wariancji λ.


Jeśli zmienne losowe <math>X_{i}</math> mają rozkład Poissona z parametrem <math>\lambda_{i}</math> i są niezależne, to suma N takich zmiennych oznaczona jako Y będzie miała rozkład Poissona o parametrze będącym sumą parametrów zmiennych wchodzących w jej skład, co zapisujemy następująco:


<center><math>Y \sum_{i1}^N X_i \sim \mathrm{Poi}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\,</math></center>


Zastosowanie


Rozkład Poissona znajduje zastosowanie m.in w określaniu następujących zdarzeń (Y. Dodge 2008, s.426):

  • liczba cząstek emitowanych przez substancję radioaktywną,
  • liczba rozmów zarejestrowanych przez centralę,
  • liczba wypadków przytrafiających się ubezpieczonej osobie,
  • liczba bakterii w preparacie mikroskopowym,

Rozkład ten znajduje także szerokie zastosowanie w ekonometrii, m.in. w modelowaniu patentów, zbrodni czy popytu na usługi medyczne. (W. Greene 2002, s.856)


Autor: Paweł Fiedor
Źródło: Encyklopedia Zarządzania
Treść udostępniana na licencji GNU licencja wolnej dokumentacji 1.3 lub nowsza.

Podobne prace

Do góry