Ocena brak

Równania Maxwella

Autor /vanessa Dodano /07.03.2011

Wymagany Adobe Flash Player wesja 10.0.0 lub nowsza.

praca w formacie pdf Równania Maxwella

Transkrypt

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 25
25. Równania Maxwella
25.1 Podstawowe równania elektromagnetyzmu
Poszukiwaliśmy zawsze podstawowego (najmniejszego) zestawu równań pozwalającego na pełne opisanie przedmiotu zainteresowań.
W mechanice - trzy zasady dynamiki
W termodynamice - trzy zasady termodynamiki
Teraz chcemy zrobić to samo dla elektromagnetyzmu.
Zacznijmy od poznanych już równań.

1

Nazwa
prawo Gaussa dla elektryczności

2

prawo Gaussa dla magnetyzmu

3

prawo indukcji Faradaya

4

prawo Ampera

Równanie
∫ E dS = q / ε 0

∫ BdS = 0


ε = ∫ E dl = − B
dt
r
∫ Bdl = µ 0 I

Te równania jak się okaże są niekompletne Konieczne jest wprowadzenie jeszcze jednego dodatkowego wyrazu do równania 4.
Pozwala on w szczególności na udowodnienie, że prędkość światła w próżni c, jest
związana z czysto elektrycznymi i magnetycznymi wielkościami.
Prześledźmy powyższą tabelę z punktu widzenia symetrii.
Zwróćmy uwagę, że w tych rozważaniach stałe µ0 i ε0 nie są istotne bo możemy wybrać
układ jednostek, w którym będą te stałe równe 1. Wtedy zauważamy pełną symetrię lewych stron równań. Prawe strony NIE są symetryczne.
Przyczynę niesymetrii dla równań 1 i 2 znamy. Wiemy, że istnieją izolowane centra
ładunku (np. elektron, proton) ale nie istnieją izolowane centra magnetyczne (pojedyncze bieguny magnetyczne - monopole). Dlatego w równaniu 1 pojawia się q, a w 2 zero.
Z tego powodu mamy w równaniu 4 prąd I = dq/dt, a nie mamy prądu monopoli (ładunków magnetycznych) w równaniu 3.
Drugi rodzaj asymetrii wiąże się z wyrazem – dφB/dt w równaniu 3. Sens tego prawa
jest następujący: zmieniające się pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne.
Korzystając z zasad symetrii można przypuszczać, że obowiązuje zależność odwrotna:
zmieniając pole elektryczne (dφE/dt) wytwarzamy pole magnetyczne ( ∫ B dl ) .
25.2 Indukowane pole magnetyczne
Oczywiście doświadczenie daje przykłady: w kondensatorze (cylindrycznym) pole
elektryczne wzrasta (kondensator ładuje się) z prędkością dE/dt co oznacza, że do okładek dopływa ładunek.

25-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Doświadczenie pokazuje, że powstaje tam pole magnetyczne wytworzone przez zmieniające się pole elektryczne.

i

E
x x x
B
x x x x x x x
r

i

x x x x x x B
x
B
x x x x x x x
x x B x
x

R

E

Trzeba to uwzględnić w naszych równaniach. Jeszcze raz rozpatrzmy cylindryczny kondensator i obliczmy z prawa Ampera pole magnetyczne w punkcie P (rysunek poniżej).
P
E
S
i
r

i

S'

Wybieramy kontur obejmujący płaską powierzchnię S, która zawiera prąd I oraz przechodzi przez punkt P (w odległości r) ( ∫ jdS = I ). Z prawa Ampera otrzymujemy
S

∫ Bdl = µ

0

I

kontur S

Stąd

B2πr=µ0I

Czyli
B=

µ0 I
2πr

Prawo Ampera obowiązuje dla dowolnego konturu. Wybieramy więc kontur kołowy na
którym rozpięta jest zakrzywiona powierzchnia S'. Żaden prąd nie przechodzi przez tę
powierzchnię więc tym razem kontur nie obejmuje prądu i mamy ∫ B dl = 0 co jest
sprzeczne z poprzednim wynikiem. Wynika to z nieciągłości prądu, który nie płynie
pomiędzy okładkami kondensatora. Żeby usunąć tę niespójność Maxwell zaproponował
dodanie nowego członu do prawa Ampera.
Przez analogię do prawa indukcji Faradaya możemy napisać
25-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

∫ Bdl = µ ε

0 0

dφ E
dt

(25.1)

Tak więc prawo Ampera po modyfikacji ma postać
dφ E
+ µ0 I
dt

∫ Bdl = µ ε

0 0

(25.2)

Tak więc pole magnetyczne jest wytwarzane przez przepływ prądu ale też przez zmieniające się pole elektryczne.
Sprawdźmy czy stosując tę modyfikację uzyskamy teraz poprawny wynik na pole B w
punkcie P (przykład powyżej). W części powierzchni krzywoliniowej S' pomiędzy
okładkami kondensatora z prawa Gaussa wynika, że

φE = ESC = q/ε0
gdzie SC jest powierzchnią okładek kondensatora. Różniczkując po dt mamy
dφ E
1 dq
I
=
=
dt
ε 0 dt ε 0
Przypomnijmy, że

∫ Bdl = µ

0

Podstawiając za I otrzymujemy

∫ Bdl = µ ε

0 0

I
dφ E
dt

czyli dodany wyraz do prawa Ampera.
25.3 Prąd przesunięcia
Z poprzedniego równania widać, że wyraz ε0dφE/dt ma wymiar prądu. Mimo, że
nie mamy tu do czynienia z ruchem ładunków, to wyraz ten nazywamy prądem przesunięcia. Mówimy, że pole B może być wytworzone przez prąd przewodzenia I lub przez
prąd przesunięcia IP.

∫ Bdl = µ

0

(I P + I )

(25.3)

Koncepcja prądu przesunięcia pozwala na zachowanie ciągłości prądu w przestrzeni
gdzie nie jest przenoszony ładunek (np. między okładkami kondensatora).
Przykład 1
Obliczyć indukowane pole magnetyczne w ładowanym kondensatorze cylindrycznym
w odległości r od osi (rysunek na stronie 2).
Z równania

25-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

∫ Bdl = µ ε

0 0

dφ E
dt

otrzymujemy
d( Eπr 2 )
dE
= µ 0 ε 0πr 2
dt
dt

B 2πr = µ 0 ε 0
Stąd
B=

1
dE
µ 0ε 0 r
, dla r < R
2
dt

dla r = R = 5cm oraz dE/dt = 1012 V/ms otrzymujemy B = 0.0028 Gs czyli o dwa rzędy
mniej niż pole ziemskie.
Natomiast prąd przesunięcia
IP = ε0

dφ E
dE
= ε 0πR 2
dt
dt

ma całkiem sporą wartość IP = 70 mA. Powodem, że B jest tak małe jest to, że ten prąd
(umowny) jest rozłożony na bardzo dużej powierzchni okładki kondensatora podczas
gdy prąd przewodzenia jest "skupiony" w przewodniku.
25.4 Równania Maxwella
Prawo

1

Równanie

Gaussa dla

∫ E dS = q / ε

elektryczności

Czego dotyczy
0

Doświadczenie

ładunek i pole

Przyciąganie, odpychanie

elektryczne

ładunków (1/r2).
Ładunki gromadzą się na
powierzchni metalu

2

Gaussa dla
magnetyzmu

pole magnetyczne

nie stwierdzono istnienia
monopola magnetycznego

dφ B
dt

daya

∫ E dl = −

efekt elektryczny

indukowanie SEM w obwo-

zmieniającego się

dzie przez przesuwany ma-

pola magnetycz-

3

indukcji Fara-

∫ BdS = 0

gnes

nego

4

Ampera (rozszerzone przez

∫ Bdl = µ 0ε 0

Maxwella)

+ µ0 I
c=

dφ E efekt magnetyczdt ny zmieniającego

prąd w przewodniku wytwarza wokół pole magnetyczne

się pola elek-

1

prędkość światła można wy-

trycznego

liczyć z pomiarów EM

ε 0 µ0

25-4

Podobne prace

Do góry