Ocena brak

Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna

Autor /vanessa Dodano /07.03.2011

Wymagany Adobe Flash Player wesja 10.0.0 lub nowsza.

praca w formacie pdf Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna

Transkrypt

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 22
22. Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna
22.1

Prawo Ampera

Chcemy teraz znaleźć pole magnetyczne wytwarzane przez powszechnie występujące rozkłady prądów, takich jak przewodniki prostoliniowe, cewki itd.
Pole magnetyczne prezentujemy graficznie rysując tzw. linie pola magnetycznego
czyli linie wektora indukcji magnetycznej. Na rysunku pokazane są linie pola magnetycznego wokół prostoliniowego przewodnika z prądem. Wektor B jest styczny do tych
linii pola w każdym punkcie.

Linie pola B wytwarzanego przez przewodnik są zamkniętymi współśrodkowymi
okręgami w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika. To, że linie pola B są zamknięte
stanowi fundamentalną różnicę między polem magnetycznym i elektrycznym, którego
linie zaczynają się i kończą na ładunkach.
Zwrot wektora indukcji B wokół przewodnika wyznaczamy stosując następującą zasadę: Jeśli kciuk prawej ręki wskazuje kierunek prądu I, to zgięte palce wskazują kierunek B (linie pola B krążą wokół prądu).
Żeby obliczyć pole B potrzeba nam "magnetycznego" odpowiednika prawa Gaussa.
Związek między prądem i polem B jest wyrażony poprzez prawo Ampera.
Zamiast sumowania (całki) E po zamkniętej powierzchni, w prawie Ampera sumujemy
(całkujemy) po zamkniętym konturze (całkę krzywoliniową). Taka całka dla pola E
równała się wypadkowemu ładunkowi wewnątrz powierzchni, a w przypadku pola B
jest równa całkowitemu prądowi otoczonemu przez kontur, co zapisujemy

∫Bdl = µ

0

I

(22.1)

22-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

gdzie µ0 = 4π·10-7 Tm/A, jest przenikalnością magnetyczną próżni. Tak jak w przypadku prawa Gaussa wynik był prawdziwy dla dowolnej powierzchni zamkniętej tak dla
prawa Ampera wynik nie zależy od kształtu konturu zamkniętego
Przykład 1
Obliczmy pole wokół nieskończenie długiego prostoliniowego przewodnika w odległości r od niego.

I

r

Z prawa Ampera wynika, że dla konturu kołowego
B2πr = µ0I
Stąd
B=

22.2

µ0 I
2πr

(22.2)

Strumień magnetyczny

Tak jak liczyliśmy strumień dla pola E (liczbę linii przechodzących przez powierzchnię S) tak też obliczamy strumień pola B

φB = ∫ B d s

(22.3)

S

Ponieważ linie pola B są zamknięte więc strumień przez zamkniętą powierzchnię musi
być równy zeru (tyle samo linii wchodzi co wychodzi).

∫Bds = 0
S

22-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

22.3

Przykładowe rozkłady prądów

22.3.1 Pręt (przewodnik)
Na zewnątrz pręta (r > R) znamy już pole B.

I
r
R

B=

µ0 I
2πr

Pole to jest takie jakby cały prąd płynął przez środek pręta (analogie do rozkładu ładunków).
Jeżeli chcemy obliczyć pole wewnątrz pręta to wybieramy kontur kołowy o r < R.
Wewnątrz konturu przepływa prąd i będący tylko częścią całkowitego prądu I

πr 2
i=I
πR 2
Stąd
B2πr = µ0i
B 2πr = µ 0 I
Czyli
B=

πr 2
πR 2

µ 0 Ir
2πR 2

22.3.2 Cewka (solenoid)
Solenoidem nazywamy cewkę składającą się z dużej liczby zwojów. Linie pola magnetycznego solenoidu są pokazane schematycznie na rysunku poniżej. Jak widać pole
wewnątrz solenoidu jest jednorodne, a na zewnątrz praktycznie równe zeru.

22-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Jeżeli zwoje solenoidu stykają się ze sobą wówczas możemy rozpatrywać solenoid jako
układ połączonych szeregowo prądów kołowych (rysunek).
Do obliczenia pola wytwarzanego przez solenoid zastosujemy prawo Ampera, dla konturu pokazanego na rysunku poniżej.
d

c

b

a

Całkę po konturze zamknietym

∫ Bdl

B

przedstawimy jako sumę czterech całek

b

c

d

a

a

b

c

d

∫ Bdl = ∫ Bdl + ∫ Bdl + ∫ Bdl + ∫ Bdl
Druga i czwarta całka są równe zeru bo B ⊥ l. Trzecia całka jest też równa zero ale to
dlatego, że B = 0 na zewnątrz solenoidu. Tak więc niezerowa jest tylko całka pierwsza
i równa
b

∫ B d l = Bh
a

gdzie h jest długością odcinka ab.
Teraz obliczmy prąd obejmowany przez kontur.
Jeżeli cewka ma n zwojów na jednostkę długości to wewnątrz konturu jest nh zwojów
czyli całkowity prąd przez kontur wynosi:
I = I0nh
gdzie I0 jest prądem przepływającym przez cewkę (przez pojedynczy zwój).

22-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Z prawa Ampera otrzymujemy więc:
Bh = µ0I0nh
czyli

B = µ0I0n

(22.4)

22.3.3 Dwa przewodniki równoległe
Dwa przewodniki równoległe umieszczone w odległości d. Płyną w nich prądy Ia i Ib
odpowiednio.
a

b

l
F
Ba
d
ia

ib

Przewodnik a wytwarza w swoim otoczeniu pole
Ba =

µ0 I a
2πd

W tym polu znajduje się przewodnik b, w którym przepływa prąd Ib. Na odcinek l tego
przewodnika działa siła
Fb = I b lBa =

µ 0l I a I b
2πd

(22.5)

Zwrot siły widać na rysunku.
To rozumowanie można "odwrócić" zaczynając od przewodnika b. Wynik jest ten sam.
Fakt oddziaływania przewodników równoległych wykorzystano przy definicji ampera. Załóżmy, że d = 1m oraz, że Ia = Ib = I. Jeżeli dobierzemy tak prąd aby siła przyciągania przewodników, na 1 m ich długości, wynosiła 2·10-7 N to mówimy, że natężenie prądu jest równe 1 amperowi.

22-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

22.4

Prawo Biota-Savarta

Istnieje inne równanie, zwane prawem Biota-Savarta, które pozwala obliczyć B
z rozkładu prądu. Oczywiście to prawo i prawo Ampera muszą być matematycznie równoważne. Prawo Ampera jest jednak "łatwe" w stosowaniu tylko gdy rozkłady prądów
są na tyle symetryczne, że obliczenie odpowiedniej całki nie jest trudne. Gdy rozkład
prądów jest skomplikowany (nie znamy jego symetrii) to dzielimy prądy na nieskończenie małe elementy (rysunek) i stosując prawo Biota-Savarta obliczamy pole od
takich elementów, a następnie sumujemy je (całkujemy) żeby uzyskać wypadkowy
wektor B.

I
dl
θ
r

dB

Wartość liczbowa dB zgodnie z prawem Biota-Savarta wynosi
dB =

µ 0 I d l sin θ

r2

dB =

µ0 I d l × r
4π r 3

a zapisane w postaci wektorowej
(22.6)

Przykład 2
Obliczmy pole B na osi kołowego przewodnika z prądem.
r

I

d

dB⊥
α

R

x

dBII

Z prawa B -S otrzymujemy

µ 0 I d l sin 90 o
dB =

r2
oraz

22-6

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

d BII = d Bcos α
Z tych równań otrzymujemy
d BII =

µ 0 I cos α d l
4πr 2

Ponadto
r = R2 + x2
oraz
cos α =

R
=
r

R
R2 + x2

Podstawiając otrzymujemy
d BII =

µ 0 IR
dl
4π ( R 2 + x 2 ) 3 2

Zauważmy, że wielkości I, R, x są takie same dla wszystkich elementów prądu.
Całkujemy, żeby obliczyć B (wyłączając stałe czynniki przed znak całki)
B = ∫ d BII =

µ 0 IR
µ 0 IR
µ 0 IR 2
dl =
(2πR) =
4π ( R 2 + x 2 ) 3 2 ∫
4π ( R 2 + x 2 ) 3 2
2( R 2 + x 2 ) 3 2

Dla x >> R dostajemy

µ 0 IR 2
B=
2x 3
22.5

Indukcja elektromagnetyczna

22.5.1 Prawo Faradaya
Zjawisko indukcji elektromagnetycznej polega na powstawaniu prądów elektrycznych w zamkniętym obwodzie podczas przemieszczania się względem siebie źródła pola magnetycznego i tego zamkniętego obwodu. Mówimy, że w obwodzie jest indukowana siła elektromotoryczna (SEM indukcji), która wywołuje przepływ prądu indukcyjnego.
Prawo indukcji Faradaya stosuje się do trzech różnych sytuacji fizycznych:
• Nieruchoma pętla, względem której porusza się źródło pola magnetycznego (mamy
tzw. elektryczną SEM).
Przewód w kształcie pętli porusza się w obszarze pola magnetycznego (magnetyczna SEM).
• Nieruchoma pętla i nieruchome źródło pola magnetycznego lecz zmienia się prąd,
który jest źródłem pola magnetycznego (także elektryczna SEM).
Na podstawie obserwacji Faraday doszedł do wniosku, że czynnikiem decydującym jest
szybkość zmian strumienia magnetycznego φB. Ilościowy związek przedstawia prawo
Faradaya
22-7

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

ε =−

dφB
dt

(22.7)

Jeżeli mamy obwód złożony z N zwojów to

ε = −N

dφB
dt

22.5.2 Reguła Lenza
Prąd indukowany ma taki kierunek, że przeciwstawia się zmianie, która go wywołała. Kierunek prądu indukowanego w pętli (rysunek) zależy od tego czy strumień rośnie
czy maleje (zbliżamy czy oddalamy magnes). Ta reguła dotyczy prądów indukowanych.
v

S

N
I

v

S

N
I

22-8

Podobne prace

Do góry