Ocena brak

LOGIKA FORMALNA

Autor /KiLLbiLL Dodano /07.07.2011

Jest to nauka o pewnych formalnych relacjach, które moŜna interpretować co najmniej dwojako. Weźmy np. twierdzenie logiki z zakresu sylogistyki (chodzi o sylogizm Barbara) w postaci: jeśli kaŜde M  jest P  i kaŜde S jest M, to kaŜde S jest P. Przy jednej interpretacji jest to prawo dotyczące wynikania między zdaniami (uwzględniające wewnętrzną budowę zdań), które głosi, Ŝe jeśli prawdziwe jest zdanie (typu, struktury) „kaŜde M jest p"  i prawdziwe jest zdanie (typu, struktury) „kaŜde  S  jest M",  to prawdziwe jest zdanie (typu, struktury) „kaŜde  S  jest  P",  lub  Ŝe jeśli uznamy dwa pierwsze z wymienionych zdań, to w konsekwencji (chcąc zachować niesprzeczność sta-nowiska) uznać musimy i trzecie, przy czym za (zmienne nazwowe)  S, P, M podstawić możemy określonego typu terminy (nazwy).

Przy tej interpretacji logika zajmuje się związkami między wyraŜeniami językowymi (lub ich znaczeniami), uwzględniając jedynie ich formę, budowę; jest teorią poprawnego (tzn. zachowującego niesprzeczność i konsekwencję, wykluczającego nieporozumienia z powodu nieścisłego lub niejednoznacznego sformułowania) wnioskowania i operacji z nim związanych, ustala schematy niezawodnego wnioskowania.  Przy drugiej interpretacji przytoczony sylogizm jest twierdzeniem przedmiotowym (tzn. nie dotyczy języka, lecz czegoś pozajęzykowego), ujmuje związek między stanami rzeczy: jeśli jest tak, Ŝe kaŜde M  jest P  i kaŜde S  jest M,  to (z konieczności) jest tak, Ŝe kaŜde S jest P.

Przy tej interpretacji logika formalna stanowi ogólną teorię przedmiotów, zajmuje się związkami między stanami rzeczy ze względu na ich formę, strukturę. Dla lepszego zrozumienia swoistości logiki przeprowadźmy jeszcze pewne rozwaŜanie. Weźmy pod uwagę następujące formuły: (1) Jan jest blondynem. (2) Kawaler jest to męŜczyzna nieŜonaty. (3) Jan jest kawalerem lub Jan nie jest kawalerem. (4) x jest P lub x nie jest P.  (1)  jest zdaniem empirycznym; aŜeby dowiedzieć się o jego prawdziwości lub fałszywości, nie wystarczy rozumieć znaczenia tego zdania (w języku polskim), trzeba się ponadto odwołać do doświadczenia, trzeba zobaczyć kolor włosów Jana. (2)  jest zdaniem analitycznym; aŜeby dowiedzieć się, czy zdanie to jest prawdziwe (na gruncie pewnego języka), trzeba i wystarczy znać (wyraźnie uprzytomnić sobie) jego znaczenie (w danym języku), w szczególności trzeba znać stosunek między wyraŜeniami „kawaler" a „męŜczyzna nieŜonaty". (3)  jest równieŜ zdaniem analitycznym, którego prawdziwość lub fałszywość uznaje się wyłącznie na podstawie rozumienia (znajomości) znaczenia tego zdania w danym języku, w szczególności znaczenia „lub" oraz negacji. (4)  jest zdaniem analitycznym, stanowiącym: 1. schemat zdania (3), ujawnia-jący jego strukturę, 2. jakby uogólnienie zdania (3), poniewaŜ wszystkie zdania o budowie takiej jak (3) dadzą się potraktować jako podstawienia czy konkretyzacje formuły (4); aby to uwyraźnić, moŜna na początku tej formuły dodać: dla kaŜdego x i kaŜdego P. OtóŜ twierdzenia logiki formalnej przybierają postać formuły (4).

W formułach typu (4) występują jedynie tzw. stałe logiczne, będące odpo-wiednikami występujących w języku potocznym (naturalnym) spójników międzyzdaniowych i międzynazwowych, niekiedy i międzyfunktorowych (takich jak „i" lub „jeśli-to"), słów kwantyfikujących („kaŜdy", „niektóry", „jedyny"), słowa „jest", zaprzeczenia (negacji) oraz (pełniące funkcję podobną do zaimków w języku potocznym) zmienne - zdaniowe, nazwowe, funktorowe - za które moŜna podstawić określonego typu symbole (zmienne lub stałe). W formułach typu (3) występują - oprócz wyraŜeń wymienionych kategorii - stałe pozalogiczne, ale w sposób nieistotny; tzn. Ŝe w przykładzie (3) zastąpienie słów „Jan" i „kawaler" dowolnymi innymi odpowiedniego rodzaju (kategorii) nie zmieni wartości logicznej (prawdziwości) tego zdania.

Można powiedzieć,  że logika formalna ustala prawa, w których występują jedynie zmienne i stałe logiczne, natomiast jeśli występują w nich stałe pozalogiczne, to tylko w sposób nieistotny. Logika formalna stanowi dziś zespół systemów dedukcyjnych, formułowanych bądź jako systemy semantycznie zinterpretowane, bądź jako systemy bez semantycznej interpretacji, a więc bądź jako dotyczące pewnej dziedziny przed-miotowej, bądź jako stanowiące czysto składniowo scharakteryzowaną grę w przekształcenia napisów. Niektórzy mówią o róŜnych logikach, np. klasycznej i nieklasycznych, dwu-wartościowej i wielowartościowych. Sposób mówienia rozpowszechniony, lecz niezbyt ścisły. Nie są to bowiem róŜne nauki czy niezgodne ze sobą, konkurujące teorie logiczne, ale po prostu części jednej nauki (logiki formalnej), róŜne i róŜnie sformułowane systemy dedukcyjne. Kto by twierdził, Ŝe nie ma jednej logiki, albo nie zdawałby sobie sprawy z istoty systemów logicznych, albo kierowałby się jakimś pozalogicznym, np. filozoficznym, punktem widzenia. Wyjaśnijmy to krótko przedstawiając współczesny sposób uprawiania logiki, współczesną metodę budowania systemów logiki. Jest to m e t o d a d e d u k c y j n a . Polega ona na tym, że:

1. ustala się słownik danego systemu, tzn. określa się, jakie formuły mogą w nim wystąpić, czyli mają w nim sens,

2. dobiera się (zakłada) pewien zespół formuł i traktuje je jako aksjomaty (tezy przyjęte bez dowodu),

3. ustala się zespół reguł (dyrektyw) dedukcyjnych, czyli przepisów, jak formuły-aksjomaty przekształcić w formuły-teorematy (tzn. tezy przyjęte na podstawie dowodu), czyli jak z aksjomatów wyprowadzić dalsze tezy (twierdzenia) systemu,

4. według tych  reguł otrzymuje się (wyprowadza) teorematy, czyli tezy systemu.

Przy tym słownik, tezy, przekształcenia dowodzące (czy obalające) charakteryzuje się wyłącznie strukturalnie lub formalnie, tzn. mówi się jedynie o kształcie i porządku następujących po sobie (lub obok) napisów. Buduje się jakby język i reguły jego uŜycia w oderwaniu od znaczenia, przedmiotowego odniesienia jego wyraŜeń i operacji na nich. W ten sposób systemy logiczne formułowane są jakby w języku jednowarstwowym19. Wówczas jednak tak (czysto syntaktycznie, asemantycznie) scharakteryzowany system dopuszcza niejedną interpretację (semantyczną), moŜe mieć róŜne zastosowania. Aksjomatykę danego systemu mogą spełniać róŜne dziedziny przedmiotowe, moŜe mieć ona - jak się mówi - róŜne modele (jeśli przynajmniej dwa z nich są względem siebie izomorficzne, czyli mają dokładnie taką samą strukturę, system jest kategoryczny). NiezaleŜnie od tego kaŜdy system formalny ma przynajmniej dwie (omówione wyŜej) interpretacje: moŜe być traktowany jako (hipotetyczna) teoria relacji między przedmiotami (stanami rzeczy) i jako teoria związków między wyraŜeniami określonego typu (kształtu, budowy).

System dedukcyjny bez jakiejkolwiek interpretacji semantycznej sprowadza się do gry w przekształcanie napisów i sam przez się nie pełni Ŝadnej funkcji poznawczej. Tak ujęta logika (i matematyka) jest quasi-nauką. Z drugiej strony system taki moŜna potraktować jako swoiste uabstrakcyjnienie systemu logicznego  czy matematycznego. Badanie właściwości takich systemów (oczywiście chodzić tu moŜe tylko o właściwości formalne) okazuje się interesujące dla metalogiki i metamatematyki. Przykładem systemu formalnego dopuszczającego szereg róŜnych, interesujących interpretacji i zastosowań jest tzw. algebra Boole'a. Logikę interesuje nie tylko to, co moŜna udowodnić (dedukcyjnie wywieść) z określonego zbioru aksjomatów na podstawie danych reguł, lecz równieŜ to, jakie właściwości mają poszczególne systemy logiczne. Chodzi tu o tzw. meta-logiczne właściwości systemów, takie jak niesprzeczność, rozstrzygalność, zupełność, pełność, kategoryczność. Podstawowym działem logiki formalnej jest klasyczny rachunek logiczny, obejmujący teorię zdań i teorię kwantyfikatorów pierwszego rzędu (węŜszy rachunek funkcji propozycjonalnych), ewentualnie wzbogacony pewnymi poję-ciami (np. identyczności, deskrypcji), zawierający pełny zbiór t a u t o 1 o g i i, czyli formuł logicznych prawdziwych w kaŜdej dziedzinie przedmiotów.

Systemy wchodzące w skład klasycznego rachunku logicznego są dwuwartościowe (przyjmuje się w nich dwie wartości logiczne: prawdę i fałsz), ekstensjonalne (zakresowe, tzn. - mówiąc swobodnie - relacje pod względem treści i wartości są w nich wyznaczone przez relacje pod względem zakresu wyraŜeń i ich składników), obywają się bez załoŜeń egzystenjalnych; co prawda istnieje tendencja do wprowadzenia do teorii kwantyfikatorów - głównie ze względu na zastosowanie w matematyce - aksjomatu o niepustości.

Na gruncie klasycznych systemów logiki moŜna uprawiać pewne teorie zbiorów (klas, nazw) i relacji (stosunków, ciągów i funkcji), pewne fragmenty matematycznej teorii mnogości. JednakŜe całkowite ugruntowanie matematyki w logice wymaga przyjęcia aksjomatów egzystencjalnie doniosłych (co najmniej aksjomatu nieskończoności). W kaŜdym razie pojęcia matematyczne moŜna zdefiniować za pomocą pojęć logicznych. Nieklasyczne rachunki logiczne otrzymujemy bądź rozszerzając teorię kwan-tyfikatorów (wymaga to wprowadzenia aksjomatów o istnieniu), bądź rezygnując z zasady dwuwartościowości (mamy wtedy logiki wielo- lub nieskończenie--wartościowe) lub z ekstensjonalności i wprowadzając nowe funktory (zwłaszcza implikacji) czy pewne stałe pozalogiczne (logika modalna, deontyczna, epistemiczna, erotetyczna, czyli pytań, temporalna itp.) lub operując zbiorem szczególnego typu (logiki uogólnione, logika kombinatoryczna). Są to więc systemy dedukcyjne o szczególnej aparaturze pojęciowej i specyficznych załoŜeniach lub systemy dedukcyjne dotyczące określonych dziedzin czy problemów i stanowiące zastosowanie logiki do nich.

Wreszcie należy wymienić logikę indukcji czy logiczną teorię prawdopodobieństwa; jest to system dedukcyjny formułujący prawa wnioskowania uprawdopodobniającego (wniosek na podstawie przesłanek), w odróŜnieniu od logiki dedukcji, w której formułuje się prawa wnioskowania niezawodnego (tzn. takiego, w którym prawdziwość przesłanek gwarantuje prawdziwość wniosku). Dyskutuje się charakter, a nawet - mimo wielu prób - moŜliwość takiej teorii.

Podobne prace

Do góry