Ocena brak

Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego

Autor /vanessa Dodano /07.03.2011

Wymagany Adobe Flash Player wesja 10.0.0 lub nowsza.

praca w formacie pdf Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego

Transkrypt

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 23
23. Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego
23.1 Indukcyjność
23.1.1 Transformator
Gdy dwie cewki są nawinięte na tym samym rdzeniu (często jedna na drugiej) to
prąd zmienny w jednej wywołuje SEM indukcji w drugiej.
N1 - liczba zwojów w cewce pierwotnej, N2 - liczba zwojów w cewce wtórnej
U 2 = −N2

dφB
dt

U 1 = − N1

dφB
dt

oraz

Stosunek napięć
U2 N2
=
U1
N1

(23.1)

Widać, że regulując ilość zwojów w cewkach możemy zamieniać małe napięcia na duże
i odwrotnie.
Przykład 1
Obliczmy straty mocy w linii przesyłowej o oporze 10 Ω przesyłanej z generatora
10 MW gdy napięcie wynosi 1.5·104 oraz 105 V.
P = IU
Pstrat = I2 R = (P/U)2 R
Pstrat1 = 4.4 MW (44%)
Pstrat2 = 0.1 MW (1%)
23.1.2 Indukcyjność własna
Gdy natężenie prądu przepływającego przez cewkę zmienia się to zmienia się też
strumień przez każdy zwój tej cewki więc zgodnie z prawem indukcji Faradaya indukuje się SEM. Tę siłę elektromotoryczną nazywamy siłą elektromotoryczną samoindukcji.

ε = −N


dt

(23.2)

Wielkość Nφ jest całkowitym strumieniem zawartym w obwodzie i nosi nazwę strumienia skojarzonego. Strumień skojarzony jest proporcjonalny do prądu płynącego przez
cewkę.
Nφ = LI
(23.3)
23-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Stała proporcjonalności
L = Nφ/I

(23.4)

nazywana jest indukcyjnością.
Zróżniczkowanie(po czasie) równania (23.3) daje
N


dI
=L
dt
dt

Stąd

ε = −L

dI
dt

(23.5)

Jednostką L jest henr. 1 H = 1 Vs/A
Jako przykład obliczmy indukcyjność cewki o długości l0 i N zwojach.
Strumień przez każdy zwój wynosi

φ = BS
gdzie B dla cewki wynosi

B = µ0nI = µ0I(N/l0)

Zatem

φ = µ0

NS
I
l0

Indukcyjność L otrzymujemy mnożąc strumień przez N/I
L = µ0

N 2S
l0

(23.6)

Zauważmy, że L zależy tylko od geometrii.
23.1.3 Indukcja wzajemna
Omawiając transformator pokazywaliśmy, że dwie cewki mogą oddziaływać na siebie. Prąd zmienny w jednej wywoływał SEM w drugiej. Tym razem strumień przechodzący przez cewkę 2 jest proporcjonalny do prądu płynącego przez cewkę 1.
N2φ21 = M21I1
Stałą proporcjonalności M21 nazywamy indukcją wzajemną.
Różniczkując to równanie otrzymujemy
N2

d φ 21
dI
= M 21 1
dt
dt

Stąd
23-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

ε 2 = − M 21

d I1
dt

Jeżeli zmieniamy prąd I2 to analogicznie

ε 1 = − M 12

d I2
dt

Można pokazać (ale w skomplikowany sposób), że
M12 = M21 = M
Podobnie jak L tak samo M zależy tylko od geometrii układu.
23.2 Obwody RC i RL, stałe czasowe
Zaczniemy teraz zajmować się prądami zmieniającymi się w czasie.
23.2.1 Obwód RC
Rozpatrzmy jaki prąd popłynie w obwodzie po zamknięciu wyłącznika do pozycji (a).
R
a

ε

b
C

Korzystamy z prawa Kirchoffa.

ε = IR +

q
C

(23.7)

W równaniu tym są dwie niewiadome I oraz q. Ale możemy skorzystać ze związku
I = dq/dt. Otrzymujemy równanie różniczkowe

ε=

dq
q
R+
dt
C

Szukamy rozwiązania q(t). Ma ono postać
q = Cε (1 − e −t / RC )

(23.8)
23-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Możemy sprawdzić czy funkcja ta jest rozwiązaniem równania różniczkowego poprzez
jej podstawienie do tego równania.
Prąd obliczamy różniczkując dq/dt
I=

dq ε −t / RC
= e
dt R

Rysunki przedstawiają zależność q(t) oraz I(t).

I

q

ε/R

t

t

Jeżeli teraz przełączymy wyłącznik do pozycji (b) to będziemy rozładowywać kondensator. Teraz w obwodzie nie ma ε i prawo Kirchoffa przyjmuje postać
IR +

q
=0
C

czyli

R

dq q
+ =0
dt C

Rozwiązanie ma postać
q = q 0 e −t / RC

(23.9)

gdzie q0 jest ładunkiem początkowym na kondensatorze.
Natężenie prądu przy rozładowaniu wynosi
I=

q
dq
= − 0 e −t / RC
dt
RC

W równaniach opisujących ładowanie i rozładowanie kondensatora wielkość RC ma
wymiar czasu i jest nazywana stałą czasową obwodu. Opisuje ona fakt, że ładunek na
kondensatorze nie osiąga od razu wartości końcowej lecz zbliża się do niej wykładniczo. Podobnie przy rozładowaniu.
23.2.2 Obwód RL
Analogicznie opóźnienie w narastaniu i zanikaniu prądu pojawia się w obwodzie RL
przy włączaniu lub wyłączaniu źródła SEM.

23-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

R
a
b

ε

L

Gdyby nie było cewki prąd osiągnąłby natychmiast wartość ε/R. Dzięki cewce w obwodzie pojawia się dodatkowo SEM samoindukcji εL, która zgodnie z regułą Lenza przeciwdziała wzrostowi prądu (po włączeniu) co oznacza, że jej zwrot jest przeciwny do ε.
Z prawa Kirchoffa otrzymujemy

ε − IR − L

dI
=0
dt

(23.10)

Poszukujemy rozwiązania tego równania różniczkowego w postaci I(t).
Ma ono postać
I=

ε
(1 − e − Rt / L )
R

(23.11)

Sprawdzamy poprzez podstawienie do równania. Napięcie na oporniku i cewce pokazane jest na rysunkach poniżej.
ε

V

VR

L

ε

t

t

Narastanie prądu w obwodzie jest opisane stałą czasową τL = L/R.
Jeżeli przełącznik ustawimy w pozycji (b) to wyłączmy źródło SEM i otrzymamy
L

dI
+ IR = 0
dt

(23.12)

z rozwiązaniem
I=

ε − Rt / L
e
R

(23.12)

23-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

23.3 Energia, a pole magnetyczne
Pozostańmy przy obwodzie RL. Z prawa Kirchoffa otrzymaliśmy

ε = IR + L

dI
dt

Mnożąc to równanie przez I dostajemy

εI = I 2 R + LI

dI
dt

Interpretacja tego równania z punktu widzenia pracy i energii jest następująca:
• lewa strona równania przedstawia szybkość (moc = εI tj εdq/dt) z jaką źródło przekazuje do obwodu energię εq.
• pierwszy wyraz po prawej stronie to szybkość (moc) wydzielania ciepła na oporze
R.
• drugi wyraz po prawej stronie to szybkość z jaką energia gromadzi się w polu magnetycznym.
To ostatnie możemy zapisać jako
d WB
dI
= LI
dt
dt
czyli
dWB = LIdI
Po scałkowaniu otrzymujemy
WB = ∫ d WB = ∫ LIdI =

1 2
LI
2

(23.13)

Równanie określa całkowitą energię magnetyczną zawartą w cewce o indukcyjności L
przez, którą płynie prąd I.
Porównajmy to z energią naładowanego kondensatora
WC =

1 q2
2 C

(23.14)

23.4 Gęstość energii a pole magnetyczne
Rozpatrzmy solenoid o długości l i powierzchni przekroju S czyli o objętości lS.
Tak więc gęstość energii

23-6

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

wB =

WB
lS

Ponieważ
WB =

1 2
LI
2

wB =

1 LI 2
2 lS

więc

Przypomnijmy, że
L = µ0

N 2S
l

B = µ 0 In = µ 0 I

oraz

N
l

co w połączeniu daje wyrażenie
wB =

1 B2
2 µ0

(23.15)

opisujące gęstość energii zawartej w każdym punkcie przestrzeni w której jest indukcja
magnetyczna B.
Przykład 2
Długi koncentryczny kabel składa się z cylindrycznych przewodników o promieniach
a i b. Obliczmy energię zawartą w polu magnetycznym kabla na odcinku o długości l0
oraz jego indukcyjność.

dr
b
+

r
-

a

Stosując prawo Ampera dla przestrzeni pomiędzy cylindrami otrzymamy
2πrB = µ 0 I
czyli
B=

µ0 I
2πr

Gęstość energii w punktach pomiędzy przewodami

23-7

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

1 B2
1
wB =
=
2 µ 0 2µ 0

2

µ I
 µ0 I 

 = 02 2
8π r
 2πr 
2

Rozpatrzmy teraz cienką (dr) warstewkę pomiędzy cylindrami. Objętość tej warstewki
wynosi:
dV = 2πrdrl0
dla odcinka kabla o długości l0.
Energia w tej objętości wynosi więc

µ0 I 2
µ 0 I 2l0 d r
d W = wB d V = 2 2 2πr d rl 0 =

r
8π r
Sumując (całkując) po całej objętości obliczamy całkowitą energię W
W = ∫ dW =

µ 0 I 2l0 b d r µ 0 I 2l0 b
ln
=
4π ∫ r

a
a

Indukcyjność znajdziemy z zależności
U=

1 2
LI
2

czyli

L=

L=

2U
I2

µ 0l0 b
ln

a

L zależy tylko od czynników geometrycznych.

23-8

Podobne prace

Do góry