Ocena brak

Fale w ośrodkach sprężystych

Autor /vanessa Dodano /07.03.2011

Wymagany Adobe Flash Player wesja 10.0.0 lub nowsza.

praca w formacie pdf Fale w ośrodkach sprężystych

Transkrypt

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 15
15. Fale w ośrodkach sprężystych
15.1 Fale mechaniczne
Fale powstające w ośrodkach sprężystych (np. fale dźwiękowe) nazywamy falami
mechanicznymi. Powstają w wyniku wychylenia jakiegoś fragmentu ośrodka z położenia równowagi co w następstwie powoduje drgania fragmentu wokół tego położenia.
Drgania te (dzięki właściwościom sprężystym ośrodka) są przekazywane na kolejne
części ośrodka. Sam ośrodek nie przesuwa się, a jedynie jego elementy wykonują drgania w ograniczonych obszarach przestrzeni. Np. fale na powierzchni wody: przedmioty
pływające wykonują ruch drgający natomiast same fale poruszają się ruchem jednostajnym. Fala dobiegające do danego przedmiotu wprawiają go w ruch drgający przekazując mu energię. Można za pomocą fal przekazywać więc energię na duże odległości.
Energia fal to energia kinetyczna i potencjalna cząstek ośrodka.
Cechą charakterystyczną fal jest to, że przenoszą energię poprzez materię dzięki przesuwaniu się zaburzenia w materii a nie dzięki ruchowi postępowemu samej materii.
Do rozchodzenia się fal mechanicznych potrzebny jest ośrodek. To właściwości sprężyste ośrodka decydują o prędkości rozchodzenia się fali.
Ze względu na kierunek drgań cząstek względem kierunku rozchodzenia się fali
fale poprzeczne (np. lina)
• fale podłużne (np. sprężyna, głos)
Ze względu na czoło fali (powierzchnia łącząca punkty o jednakowych zaburzeniach w
danej chwili) wyróżniamy
• fale płaskie (w jednym kierunku)
• fale kuliste
15.2 Fale rozchodzące się w przestrzeni
Rozważmy długi sznur naciągnięty w kierunku x, wzdłuż którego biegnie fala poprzeczna. W dowolnej chwili np. t = 0 kształt sznura można opisać funkcją
y = f(x),

t=0

y – przemieszczenie cząsteczek sznura sznura.
W miarę upływu czasu fala biegnie wzdłuż sznura bez zmiany kształtu. Po czasie t fala
przesuwa się o vt w prawo (v - prędkość fali). Zatem po czasie t równanie krzywej ma
postać
y = f(x − vt),

t

Oznacza to, że w chwili t w punkcie x = vt, kształt jest taki sam jak w chwili t = 0
w punkcie x = 0. Mamy więc równanie fali tylko trzeba określić funkcję f.
Jeżeli śledzimy wybraną część fali (czyli określoną fazę) to musimy zbadać jak zmienia
się w czasie określona wartość y (np. maksimum - amplituda). Chcemy żeby y było cały

15-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

czas takie samo, więc argument x −- vt musi być taki sam, a to oznacza, że gdy czas rośnie to musi też rosnąć x (czyli ruch w prawo). Fala w lewo ma więc równanie
y = f(x+vt). Podsumowując, dla wybranej fazy mamy
x − vt = const.
Różniczkując względem czasu otrzymujemy
dx
−v = 0
dt
czyli
dx
=v
dt
To jest prędkość fazowa. Zauważmy, że dla danego t mamy równanie f(x), a dla danego
miejsca sznura x mamy równanie f(t).
Rozważmy teraz fale o szczególnym kształcie. Załóżmy, że w chwili t = 0 kształt sznura
jest opisany funkcją

y = A sin
x

λ

gdzie A jest maksymalnym wychyleniem. Zauważmy, że wychylenie jest takie samo
w punktach x, x + λ, x + 2λ, x + 3λ itd. Wielkość λ nazywamy długością fali (odległość
między punktami o tej samej fazie). Jeżeli fala biegnie w prawo to po czasie t
y = A sin



λ

( x − vt )

To jest równanie fali biegnącej.
Okres T jest czasem, w którym fala przebiega odległość równą λ więc:

λ = vT
stąd
x t 
y = A sin 2π  − 
λ T 

(15.1)

Widać, że w danej chwili taka sama faza jest w punktach x, x + λ, x + 2λ, x + 3λ itd.,
oraz, że w danym miejscu faza powtarza się w chwilach t, t + T, t +2T, itd.
Często wprowadza się dwie nowe wielkości: liczbę falową k = 2π/λ i częstość ω = 2π/T.
Wówczas y = Asin(kx-ωt) lub y = Asin(kx+ωt) dla fal biegnących w prawo i lewo.
Widać, że prędkość fazowa fali v jest dana wzorem
v = λ/T = ω/k

(15.2)

oraz, że dla danego x otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego prostego.

15-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

15.3 Rozchodzenie się fal, prędkość fal
Jeżeli chcemy zmierzyć prędkość fali v to śledzimy jak przemieszcza się w czasie
wybrana część fali czyli określona faza.
Wiemy, że prędkość fali zależy od sprężystości ośrodka i jego bezwładności. Sprężystość dla sznura jest określona poprzez napinającą go siłę F (np. im większa siła tym
szybciej wychylone elementy sznura wracają do położenia równowagi). Natomiast
bezwładność jest związana z masą sznura m oraz jego długością l. Spróbujemy teraz
wyprowadzić wzór na zależność prędkości v fali od siły F i od µ = m/l tj. masy przypadającej na jednostkę długości sznura. W tym celu rozpatrzmy mały wycinek sznura
o długości dx pokazany na rysunku.

Końce wycinka sznura tworzą z osią x małe kąty θ1 i θ2. Dla małych kątów
θ ≅ sinθ ≅ dy/dx. Wypadkowa pionowa siła tj. siła wychylająca sznur w kierunku y wynosi
Fwyp = F sin θ 2 − F sin θ 1 = Fθ 2 − Fθ 1
Zgodnie z zasadą dynamiki siła wypadkowa jest równa iloczynowi masy wycinka
dm = µ⋅dx i jego przyspieszenia. Stąd
Fwyp = Fθ 2 − Fθ 1 = ( µ dx)

∂v y
∂t

= ( µ dx)

∂2 y
∂t 2

lub
∂θ µ ∂ 2 y
=
∂x F ∂ t 2
(Uwaga: w równaniach piszemy pochodne cząstkowe oznaczane symbolem ∂y bo wychylenie y jest funkcją dwóch zmiennych y = f (x,t) i liczymy pochodne zarówno
względem zmiennej x jak i zmiennej t). Uwzględniają, że θ = ∂y/∂x otrzymujemy

∂ 2y µ ∂ 2y
=
∂ x2 F ∂ t 2

(15.3)

15-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Jest to równanie falowe dla sznura (struny). Podstawmy teraz do tego równania odpowiednie pochodne funkcji y = f( x, t ) = A sin(k x − ω t )

∂ 2y
= − Aω 2 sin(k x − ω t )
2
∂t
oraz

∂ 2y
= − Ak 2 sin( k x − ω t )
2
∂x
W wyniku podstawienia otrzymujemy
k2 =

µ 2
ω
F

skąd możemy obliczyć prędkość fali
v=

ω
=
k

F

µ

(15.4)

Zwróćmy uwagę, że sinusoidalna fala może być przenoszona wzdłuż struny z prędkością niezależną od amplitudy i częstotliwości.
Jeżeli teraz przepiszemy równanie struny w postaci

∂ 2y 1 ∂ 2y
=
∂x 2 v 2 ∂ t 2

(15.5)

to otrzymamy równanie falowe, które stosuje się do wszystkich rodzajów rozchodzących się fal, takich jak fale dźwiękowe czy elektromagnetyczne.
15.4 Przenoszenie energii przez fale
Szybkość przenoszenia energii wyznaczymy obliczając siłę F jaka działa na koniec
struny (porusza struną w górę i w dół w kierunku y).

15-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

W tym celu posłużymy się zależnością
P = Fyvy
Jak widać z rysunku prędkość poprzeczna równa jest vy = ∂y/∂t, a składowa siły F w
kierunku y wynosi Fsinθ . Podstawiając do wzoru na moc otrzymujemy
P=F

∂y
sin θ
∂t

Dla małych kątów θ możemy przyjąć sinθ ≅ – ∂y/∂x (znak minus wynika z ujemnego
nachylenia struny). Stąd
P = −F

∂y∂y
∂t ∂ x

Obliczamy teraz pochodne funkcji y = f( x, t ) = A sin(k x − ω t )

∂y
= − Aω cos(kx − ω t )
∂t
∂y
= A k cos(kx − ω t )
∂x
i podstawiamy do wyrażenia na moc
P = FA 2 kω cos 2 (k x − ω t )

(15.6)

Zauważmy, że moc czyli szybkość przepływu energii oscyluje w czasie. Korzystając
z tego, że k = ω /v, ω = 2πf oraz, że v = F / µ otrzymujemy
P = 4π 2 A 2 f 2 µv cos 2 (kx − ω t )

(15.7)

Widzimy, że szybkość przepływu energii jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy
i kwadratu częstotliwości. Ta zależność jest prawdziwa dla wszystkich typów fal.
15.5 Interferencja fal
Rozważmy dwie fale o równych częstotliwościach i amplitudach ale o fazach różniących się o ϕ. Równania tych fal są następujące
y1 = Asin(kx – ωt – ϕ)
y2 = Asin(kx – ωt)

15-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Znajdźmy teraz falę wypadkową (zasada superpozycji) jako sumę y = y1 + y2.
Korzystając ze wzoru na sumę sinusów otrzymujemy
y = 2Acos(ϕ/2)sin(kx – ωt – ϕ/2)

(15.8)

co jest równaniem fali sinusoidalnej o amplitudzie 2Acos(ϕ/2). Dla ϕ = 0 fale spotykają
się zgodnie w fazie (wzmacniają), a dla ϕ = 180 wygaszają.
15.6 Fale stojące
Rozważmy teraz dwa ciągi falowe biegnące w przeciwnych kierunkach tzn.
y1 = Asin(kx – ωt)
y2 = Asin(kx + ωt)
np. falę padającą i odbitą.
Falę wypadkową można zapisać jako
y = y1 + y2 = 2Asinkxcosωt

(15.9)

To jest równanie fali stojącej. Zauważmy, że cząstki drgają ruchem harmonicznym prostym. Cząstki mają tę samą częstość ale różną amplitudę zależną od położenia cząstki x.
Punkty kx = π/2, 3π/2, 5π/2, itd. czyli x = λ/4, 3λ/4, 5λ/4 itd. mające maksymalną amplitudę nazywamy strzałkami a punkty kx = π, 2π, 3π itd. czyli x = λ/2, λ, 3λ/2 itd. mające zerową amplitudę nazywamy węzłami.
Zwróćmy uwagę na jeszcze jedną istotną różnicę. Energia nie jest przenoszona wzdłuż
sznura bo nie może ona przepłynąć przez węzły, jest na stałe zmagazynowana w poszczególnych elementach sznura.
15.6.1 Układy drgające, przykład
Jeżeli struna zamocowana na obu końcach zostanie najpierw wygięta a następnie
puszczona, to wzdłuż struny rozchodzą się drgania poprzeczne. Zaburzenia te odbijają
się od zamocowanych końców i w wyniku interferencji powstaje fala stojąca. Zwróćmy
uwagę, że drgania struny wytwarzają w otaczającym strunę powietrzu dźwiękowe fale
podłużne (fale akustyczne). Ponieważ jedynym warunkiem, jaki musi być spełniony,
jest nieruchomość obu końców struny, czyli istnienie węzłów fali stojącej na tych końcach, to mogą powstać w tej strunie fale stojące o różnej długości. Pierwsze cztery rodzaje drgań jakie powstają w strunie o długości L zamocowanej na końcach są pokazane
na rysunku poniżej. Takie fale stojące nazywamy rezonansami.
Widzimy, że długości fal spełniają związek

λn =

2L
n

(15.10)

15-6

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

λ 1 = 2L

λ2 = L

λ 3 = 2L/3

λ 4 = L/2

L

Korzystając z tego, że prędkość fali v = λ T = λ v oraz podstawiając wyrażenie (15.4)
możemy obliczyć częstotliwość rezonansów
fn =

n
n
v=
2L
2L

F

(15.11)

µ

Najniższą częstość nazywamy częstością podstawową a pozostałe wyższymi harmonicznymi czyli alikwotami.
Zazwyczaj w drganiach występują, oprócz drgania podstawowego, również drgania
harmoniczne, a dźwięki jakie odbieramy są wynikiem nakładania się tych drgań. O jakości instrumentu (jego barwie) decyduje właśnie to ile alikwotów jest zawarte w
dźwięku i jakie są ich natężenia. Przykładowo, drganie wypadkowe struny będące złożeniem tonu podstawowego (n = 1) i wyższych harmonicznych (n = 3, 5, 7) o różnych
amplitudach jest pokazane na rysunku poniżej.
n=1
drganie wypadkowe

n=3

n=5

t
n=7

Zwróćmy uwagę, że wypadkowe drganie (chociaż okresowe) nie jest harmoniczne (nie
daje się opisać funkcją sinus lub cosinus).

15-7

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

15.7 Dudnienia - modulacja amplitudy
Mówiliśmy już o superpozycji fal, interferencji w przestrzeni (dodawanie fal o tej
samej częstości). Rozpatrzmy teraz przypadek interferencji w czasie. Pojawia się ona
gdy przez dany punkt w przestrzeni przebiegają w tym samym kierunku fale o trochę
różnych częstotliwościach. Wychylenie wywołane przez jedną falę ma postać
y1 = Acos2πv1t
y2 = Acos2πv2t
więc

y = y1 + y2 = A(cos2πv1t + cos2πv2t)

Ze wzoru na sumę cosinusów
v − v2

y = 2 A cos 2π 1
2



 v + v2 
t  cos 2π  1
t

 2 

(15.12)

Drgania wypadkowe można więc uważać za drgania o częstości
vsrednie = (v1 + v2)/2
która jest średnią dwóch fal, i o amplitudzie (wyrażenie w nawiasie kwadratowym)
zmieniającej się w czasie z częstością
vamp = (v1 – v2)/2
Jeżeli częstotliwości v1 i v2 są bliskie siebie to amplituda zmienia się powoli. Mówimy,
że mamy do czynienia z modulacją amplitudy AM (stosowana np. w odbiornikach radiowych). Dla fal dźwiękowych AM przejawia się jako zmiana głośności nazywana
dudnieniami (rysunek).
y

t
y

t

15-8

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

15.8 Zjawisko Dopplera
Austriak, Christian Doppler w pracy z 1842 r zwrócił uwagę, że barwa świecącego
ciała (częstotliwość) musi się zmieniać z powodu ruchu względnego obserwatora lub
źródła. Zjawisko Dopplera występuje dla wszystkich fal. Obecnie rozważymy je dla fal
dźwiękowych. Zajmiemy się przypadkiem ruchu źródła i obserwatora wzdłuż łączącej
ich prostej.
Źródło dźwięku spoczywa, a obserwator porusza się w kierunku źródła z prędkością vo.
Nieruchomy obserwator odbierał by vt/λ fal w czasie t. Teraz odbiera jeszcze dodatkowo vot/λ fal. Częstość słyszana przez obserwatora
vt
v' = λ

+

v ot

λ = v +vo = v +vo
v
t
λ
v

Ostatecznie
v' = v

v +vo
v

Studiując pozostałe przypadki otrzymujemy ogólną zależność
v ±vo
v ' = v
v mv
z







(15.12)

gdzie v' - częstość odbierana przez obserwatora, v - częstość źródła, v - prędkość fali, vo
- prędkość obserwatora, vz - prędkość źródła.
Znaki "górne" w liczniku i mianowniku odpowiadają zbliżaniu się, a znaki dolne oddalaniu się obserwatora i źródła.

15-9

Podobne prace

Do góry