Ocena brak

Estymator obciążony

Autor /Encyklopedia Zarządzania Dodano /15.04.2011

Estymator obciążony


Estymator jest oceną parametru populacji. Jeżeli parametr populacji generalnej<br>

oznaczymy przez Q, przez <math>Z_n</math> - funkcję (estymator) wartości zmiennych uzyskanych na <br>

podstawie próby:

<math>Z_n= f\left(X_1, X_2, X_3....X_n\right)</math>,<br>

to konkretna wartość T, jaką zmienna będzie przyjmować, nazywamy oceną punktową<br>

parametru Q- czyli wartość estymatora.<br>



Estymator nazywamy obciążonym, jeżeli jego wartość oczekiwana nie jest

równa faktycznej wartości parametru populacji generalnej, tj:


<center><math>E(Z_n)\ne Q</math></center><br> a wyrażenie

<center><math>b(Z_n)= E(Z_n)- Q</math></center>

nazywamy obciążeniem estymatora. (M.Sobczyk, "Statystyka", PWN, Warszawa 2005, s.141)


Tak więc z estymatorem obciążonym mamy do czynienia jeżeli pomiędzy średnią wartością estymatora a wartością parametru występuje różnica.<br>

Im większa jest ta różnica, tym parametr populacji oszacowany jest z większym błędem systematycznym, nielosowym. Jedynie estymator nieobciążony<br>

pozwala przyjmować założenie, że suma błędów popełnionych przy wielokrotnym (teoretycznie nieskończonym) powtarzaniu szacunku parametru<br>

populacji na podstawie próby jest równa zeru.

(Jeżeli <math>b(Z_n)</math> > 0 to estymator obciążony daje oceny przeciętnie zawyżone w stosunku do szacowanego parametru,<br>

natomiast jeżeli b(Zn) < 0

to estymator obciążony daje oceny przeciętnie zaniżone w stosunku do szacowanego parametru).


Przykład


Dla dowolnego rozkładu populacji z wariancją <math>\sigma^2</math> oraz średnią m., niech statystyki:<br>

<center><math>S^2\frac{1}{n}\sum_{i1}^{n}\left(X_i-\bar{X}\right)^2</math></center>


będą estymatorami wariancji <math>\sigma^2</math> w n-elementowej próbie.

Można wykazać, że

<center><math>E\left(S^2\right)\sigma^2\frac{n-1}{n}</math></center> oraz <center><math> E\left(\bar{S^2}\right) \sigma^2.</math></center>


Oznacza to, że statystyka <math>\bar{S^2}</math> jest estymatorem nieobciążonym wariancji, natomiast statystyka <math>S^2</math> - estymatorem obciążonym wariancji.<br>

Obciążenie estymatora <math>S^2</math> wynosi <center><math>b_n E\left(S^2\right)</math> - <math>\sigma^2 \sigma^2 \frac{n-1}{n} - \sigma^2</math> = <math>-\sigma^2 \frac{1}{n}</math></center>

Obciążenie to jest mniejsze od zera, co oznacza, że statystyka <math>S^2</math> przeciętnie nie doszacowuje wartości <math>\sigma^2</math> populacji.

Ponieważ:

<center> <math>\lim _{n\rightarrow \infty}b_n \lim _{n\rightarrow \infty} \left(- \sigma^2 \frac{1}{n}\right) 0 </math></center> to oznacza, że statystyka <math>S^2</math> jest estymatorem asymptotycznie nieobciążonym (przy dużych próbach obciążenie to nie ma praktycznie znaczenia).


Estymatory podstawowych parametrów


Estymację parametrów rozkładu jednej zmiennej ograniczę do estymacji średniej arytmetycznej, częstości względnej (frakcji) oraz wariancji<br>

populacji generalnej. Wyodrębnię estymację przedziałową tych parametrów w przypadkach dużej próby losowej (n>30) i małej próby losowej (n<30).<br>


Estymatory wymienionych parametrów rozkładów jednej zmiennej są następujące:

1. Estymatorem średniej arytmetycznej populacji generalnej <math> E\left(\bar{x}\right)= E(X)</math> jest średnia arytmetyczna z próby losowej <math>\bar{x}</math>,<br>

o rozkładzie normalnym Gaussa- Laplace`a, w przypadku dużej próby i o rozkładzie t Studenta , w przypadku małej próby

2. Estymatorem częstości względnej z populacji generalnej <math>E\left(w_i\right)= p_i </math> jest częstosć względna (wskaźnik struktury) z próby losowej <math>w_i</math><br>

o rozkładzie normalnym Gaussa- Laplace`a w przypadku dużej próby i o rozkładzie dwumianowym Bernouliego- w przypadku małej próby.

3. Estymatorem odchylenia standardowego z populacji generalnej <math> E\left[1]= \sigma(X)</math> jest odchylenie standardowe z próby<br>

losowej S(x) o rozkładzie normalnym Gaussa- Laplace`a w przypadku dużej próby, natomiast estymatorem wariancji z populacji generalnej <math> E\left[2]= \sigma^2(X)</math> <br>w przypadku

małej próby jest wariancja z próby <math>S^2</math>(x) o rozkładzie chi-kwadrat. (M. Krzysztofiak, A. Luszniewicz, "Statystyka". PWE, Warszawa 1976, s.172)



<references/>


Autor: Nowacka Bernadeta
Źródło: Encyklopedia Zarządzania
Treść udostępniana na licencji GNU licencja wolnej dokumentacji 1.3 lub nowsza.

Podobne prace

Do góry