Ocena brak

Elektrostatyka II

Autor /vanessa Dodano /07.03.2011

Wymagany Adobe Flash Player wesja 10.0.0 lub nowsza.

praca w formacie pdf Elektrostatyka II

Transkrypt

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 20
20. Elektrostatyka II
20.1 Obliczanie potencjału
Rozważmy np. różnicę potencjałów (napięcie) pomiędzy środkiem i powierzchnią
naładowanej powłoki kulistej.
B

Ponieważ E = 0 (wzdłuż drogi całkowania) więc V B − V A = − ∫ E d r = 0 tzn. w środku
A

i na powierzchni jest ten sam potencjał.
Z powyższego wzoru wynika, że
E=−

dV
dr

(20.1)

Przykład 1
Obliczyć potencjał V i pole E w odległości r od dipola ustawionego wzdłuż osi x.
Moment dipolowy p = qL i dodatkowo r >> L.
P

y
r

θ
-q

+q
x
L

Jeżeli r >> L to punkt P jest odległy od ładunku +q o:
r – (1/2)Lcosθ
oraz od –q o:
r + (1/2)Lcosθ
Całkowity potencjał jest sumą
q

V =k
r−

1
L cosθ
2

+k

(−q)
qL cosθ
=k
1
L2
r + L cosθ
r 2 − cos 2 θ
2
4

20-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Dla r >> L otrzymujemy ostatecznie
V ≈k

Ex = −

x
p cosθ
= kp 3
2
r
r

∂ V kp
= 3 (3 cos 2 θ − 1)
∂x r

Ey = −

∂ V kp
= 3 cosθ sin θ
∂ y r3

Teraz rozpatrzmy pole i różnicę potencjałów dla dwóch przeciwnie naładowanych płyt
o polu powierzchni S znajdujących się w odległości d od siebie. Jeżeli ładunki na płytach wynoszą odpowiednio +Q i –Q to gęstości ładunków wynoszą Q/S i –Q/S.
∆V = – Ed
Zgodnie z naszymi obliczeniami
∆V = σd/ε0
∆V =

Qd
ε0S

(20.2)

Na zakończenie zaznaczmy, że powierzchnia każdego przewodnika jest powierzchnią
stałego potencjału (powierzchnią ekwipotencjalną).
20.2 Pojemność
Kondensator - układ przewodników, który może gromadzić ładunek elektryczny.
Definicja pojemności
C=

Q
Q
=
∆V U

(20.3)

Jednostka farad. 1F = 1C/1V.
Powszechnie stosuje się µF, nF, pF.
Dla kondensatora płaskiego na podstawie (20.3) i (20.2)
C=

Q ε0S
=
U
d

(20.4)

20-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

20.3 Energia pola elektrycznego
Początkowo nie naładowany kondensator ładuje się od 0 do napięcia U. Wtedy ładunek wzrasta od 0 do Q, gdzie Q = CU.
Praca zużyta na przeniesienie ładunku dq z okładki "–" na "+" wynosi
dW = Udq
Całkowita praca wynosi więc
Q

Q

1 Q2
q
W = ∫U d q = ∫   d q =
2 C
C
0
0

(20.5)

Dla kondensatora płaskiego
E=

Q
, czyli Q = ε 0 ES
ε0S

Podstawiamy to do wzoru na energię i otrzymujemy
W =

(ε 0 ES )2
2C

Podstawiając wyrażenie na C dostajemy
W =

ε0E2
Sd
2

Sd - objętość kondensatora, więc gęstość energii w = W/Sd
w=

1
ε0E2
2

(20.6)

Jeżeli w jakimś punkcie przestrzeni jest pole E to możemy uważać, że jest tam zmagazy1
nowana energia w ilości ε 0 E 2 na jednostkę objętości.
2
20.4 Dielektryki
Rozważaliśmy pole elektryczne od przewodników w próżni.
Stwierdzamy, że umieszczenie materiału nieprzewodzącego (dielektryka) między okładkami kondensatora powoduje zwiększenie pojemności od wartości C do wartości C'.

κ=

C'
C

gdzie κ jest względną przenikalnością elektryczną (stałą dielektryczną).
20-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

20.4.1 Dielektryki, pogląd atomistyczny
Dwie możliwości:
• cząsteczki polarne np. H2O mające trwałe momenty dipolowe p
• cząsteczki (atomy) mają indukowany (przez zewnętrzne pole E) moment dipolowy
(przykład z atomem wodoru - Wykład 19).
Przykład 2
Atom wodoru umieszczony w zewnętrznym polu E0.
Siła F = – eE0 przesuwa chmurę elektronową o x0 względem rdzenia (protonu). Wówczas atom ma moment indukowany p = ex0.
Pole w miejscu protonu
E = E0 + Echmura
E = E0 −

ke
x0
R3

Ponieważ proton (rdzeń) w położeniu równowagi więc E = 0, skąd dostajemy
x0 =

R3
E0
ek

Indukowany moment dipolowy jest zatem równy
R3
p = ex0 =
E0
k
Elektryczne momenty dipolowe p dążą do ustawienia zgodnie z kierunkiem pola, a
momenty indukowane są równoległe do pola. Materiał w polu E zostaje spolaryzowany
(rysunek).
+
+
+
+
+
+
+
+
+

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

-

W rezultacie dodatni ładunek gromadzi się na jednej, a ujemny na drugiej powierzchni
dielektryka. Wewnątrz nie pojawia się żaden ładunek. Indukowany ładunek powierzch-

20-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

niowy q' pojawia się więc gdy dielektryk umieścimy w polu elektrycznym.
Wybieramy powierzchnię Gaussa (linia przerywana).
ES=(q – q')/ε0
E = (q – q')/(ε0S)
Pojemność takiego kondensatora
C' =

q
q
q ε0S
q
=
=
=
C
V Ed q − q ' d
q − q'

Dzieląc przez C otrzymamy
C'
q
=κ =
C
q − q'
20.4.2 Dielektryki - rozważania ilościowe.
Jeżeli każda cząsteczka ma średni moment dipolowy p skierowany zgodnie z polem E i jeżeli w dielektryku jest N cząsteczek to całkowity moment dipolowy pcałk =
Np
Z drugiej strony ładunek (indukowany) jest na powierzchni więc
pcałk = q'd
Łącząc te wyrażenia
q'd = N p
q'd = (nSd) p
gdzie n jest ilością cząsteczek w jednostce objętości.
q' = nS p
Podstawiamy to do wzoru na κ

κ=

q
q
=
q − q ' q − nS p

Obliczyliśmy, że
p = ex0 =

R3
E0
k

20-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Podstawiając E = (q – q')/(ε0S)
p=

q − q'
R 3 (q − q' )
= 4πR 3
S
k ε0S

Wstawiając to do wyrażenia na κ
q

κ=

q − 4πR 3 n

q − q'
S
S

Obliczamy κ

1

=

1 − 4πR 3 n

q − q'
q

=

1
1 − 4πR 3 n

1

κ

κ = 1 + 4πnR3

20.5 Trzy wektory elektryczne
Przypomnijmy, że: E0 = q/ε0S
Pokazaliśmy, że wprowadzenie dielektryka zmniejsza pole elektryczne (indukowany
ładunek daje pole przeciwne do E0)
E = (q – q')/(ε0S)

lub

E = E0/κ = q/(ε0Sκ)

Łącząc te równania dostajemy
q

ε 0κS

=

q
q'

ε0S ε0S

Mnożąc przez ε0 i przenosząc wyrazy otrzymujemy
q
q
q'
= ε0
+
S
κε 0 S S
Przepisujemy to równanie w postaci
D = ε0E + P

(20.8)

D, E, P są wektorami odpowiednio: indukcji elektrycznej, natężenia pola, polaryzacji.
Na rysunku pokazane są odpowiednie wektory.
D - ładunek swobodny
ε0E - wszystkie ładunki
P - ładunek polaryzacyjny

20-6

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

+ + + + + + + + + + +
-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

+ + + + + + + + + + +
-

D

-

-

-

ε0E

-

-

-

-

-

P

20-7

Podobne prace

Do góry