Ocena brak

Elektrostatyka

Autor /vanessa Dodano /07.03.2011

Wymagany Adobe Flash Player wesja 10.0.0 lub nowsza.

praca w formacie pdf Elektrostatyka

Transkrypt

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 19
19. Elektrostatyka I
19.1 Wstęp
Większość ciał stałych można podzielić na przewodniki i izolatory. W izolatorze
nadmiarowy ładunek może być rozmieszczony w całej objętości natomiast w przewodnikach swobodne elektrony będą się zbierały na powierzchni dopóty, dopóki nie wytworzy się pole równoważące pole zewnętrzne.
Rozpatrzmy dowolny w kształcie przewodnik. Wybierzmy powierzchnię zamkniętą tuż
poniżej powierzchni przewodnika.

S

Zastosujmy prawo Gaussa do tej powierzchni

∫EdS =

Qwewn.

ε0

Wewnątrz przewodnika w dowolnym punkcie powierzchni S pole musi być równe zeru,
bo inaczej elektrony poruszałyby się czyli

∫EdS =0
Zatem

0 = Qwewn./ε0

Stąd
Qwewn. = 0
Tak więc ładunek wewnątrz dowolnej zamkniętej powierzchni (przewodnika) musi być
równy zeru; cały ładunek gromadzi się na powierzchni.

19-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

19.2 Kuliste rozkłady ładunków
19.2.1 Jednorodnie naładowana sfera
Rozpatrzmy jednorodnie naładowaną powierzchnię kulistą.
+Q

r

R

W dowolnym punkcie sfery E  S (prostopadłe do powierzchni) więc

∫ E d S = E (4πr

2

)

Zgodnie z prawem Gaussa:
E(4πr2) = Q/ε0
czyli
E=

1

Q
Q
=k 2
2
4πε 0 r
r

(19.1)

dla r > R (tak jakby cały ładunek skupiony był w środku sfery).
Dla r < R, E = 0.
19.2.2 Jednorodnie naładowana kula
Przewodniki - równoważne sferze bo ładunek na powierzchni.
Izolator - równoważny szeregowi współśrodkowych sfer.
E=k

Qwewn.
r2

gdzie Qwewn. = Q(r3/R3) (stosunek objętości kuli o promieniu r do objętości kuli o promieniu R, rysunek).

Q
R
r
Qwewn

19-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 r3 
E (4πr ) = 4πk  Q 3 
 R 


2

Czyli
E=k

Q
r
R3

(19.2)

Wykres E w funkcji odległości od środka jednorodnie naładowanej kuli jest pokazany
poniżej.
E

2

2

kQ /R

R

r

Przykład 1
Atom wodoru traktujemy jako sztywną jednorodnie naładowaną kulę o promieniu
R = 10-10 m, całkowitym ładunku Q = e = -1.6·10-19 C i masie me = 9.1·10-31 kg. Proton
znajdujący się w środku chmury elektronowej (stan podstawowy) zostaje przemieszczony o małą odległość x0 i puszczony swobodnie. Jaka będzie częstotliwość drgań jakie elektron i proton będą wykonywały wokół ich położeń równowagi?
chmura
elektronowa

R
x0

proton

Siła przywracająca proton do położenia równowagi F = eE czyli
F = −k

e2
x
R3

lub
me

d2x
e2
= −k 3 x
dt 2
R

19-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Powinniśmy się posługiwać raczej masą zredukowaną µ =Mpme/(MP + me) ale me > r.
L
r
+

+

+

Wprowadzamy liniową gęstość ładunku λ (ładunek na jednostkę długości).
Jako powierzchnię Gaussa wybieramy walec (możemy wybierać dowolnie).
Z prawa Gaussa

λL

∫EdS = ε

= 4πk (λ L)

0

E jest równoległe do wektora S i ma taką samą wartość w każdym punkcie powierzchni
więc
2πrLE = 4πkLλ
E=

2kλ
λ
=
r
2πε 0 r

(19.3)

Teraz pole wewnątrz. Wybieramy powierzchnię Gaussa o promieniu r < R.
Ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa Qwewn. = ρπr2L, gdzie ρ - gęstość objętościowa
ładunku. Z prawa Gaussa otrzymujemy
E(2πrL) = 4πk(ρπr2L)
19-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

E = 2kρπr
ponieważ

λ = ρπR2

więc
E=

2kλ
λ
r=
r
2
R
2πε 0 R 2

(19.4)

19.2.4 Płaskie rozkłady ładunków
Obliczamy pole od nieskończonej jednorodnie naładowanej płaszczyzny.

E

E

Ładunek otoczony przez powierzchnię Gaussa jest równy Qwewn. = σS, gdzie σ jest gęstością powierzchniową, a S powierzchnią podstawy walca. Z prawa Gaussa
2ES = σS/ε0
gdzie czynnik 2 odpowiada dwóm podstawom walca.
Ostatecznie otrzymujemy
E = σ/2ε0

(19.5)

Wiele zastosowań dotyczy układu dwóch, płaskich równoległych płyt (kondensator płaski).
Pole wytwarzane przez płytę "po lewej stronie" (rysunek poniżej) jest równe
Eminus = σ/2ε0 i skierowane ku płycie. Pole wytwarzane przez płytę po prawej
Eplus = σ/ε0 i skierowane jest od płyty.

19-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

I

II
-

+
+
+
+
+
+
+
+

III

Zatem w obszarze I
EI = σ/2ε0 + (– σ/2ε0) = 0
w obszarze II

EII = –σ/2ε0 + (– σ/2ε0) = –σ/ε0

w obszarze III

EIII = (– σ/2ε0) + σ/2ε0 = 0

19.2.5 Powierzchnia przewodnika
Jeżeli przedstawiona na rysunku naładowana powierzchnia stanowi część powierzchni przewodnika to ponieważ cały ładunek gromadzi się na zewnętrznej powierzchni to wewnątrz E = 0. Co więcej E musi być prostopadłe do powierzchni (równoległe do S) bo gdyby istniała składowa styczna to elektrony poruszałyby się.
Z prawa Gaussa wynika, że
ES = (σS)/ε0
więc

E = σ/ε0

(19.6)

na powierzchni przewodnika.
19.3 Potencjał elektryczny
Zgodnie z naszymi rozważaniami różnica energii potencjalnych jest dana przez
B

E pB − E pA = − ∫ F d r
A

co dla pola elektrycznego daje
B

B

A

A

E pB − E pA = − ∫ F d r = − q ∫ E d r

(19.7)

Podobnie jak dla grawitacyjnej energii potencjalnej możemy zdefiniować punkt zerowej
energii potencjalnej dla ciała znajdującego się w nieskończoności. Wtedy

19-6

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

r

E p (r ) = −q ∫ E d r


Jeżeli przenosimy ładunek q z nieskończoności do punktu odległego o r od innego ładunku punktowego Q, to energia potencjalna jest równa pracy wykonanej przeciw sile
elektrycznej, czyli
r

r

E p ( r ) = W∞ r

Q
 1
= − q ∫ k 2 d r = − qQk − 
r
 r ∞

E p (r ) = k

qQ
r

(19.8)

jest energią potencjalną ładunków q i Q.
Potencjał elektryczny jest definiowany jako energia potencjalna na jednostkowy ładunek
V (r ) =

E p (r )
q

=

W∞r
q

(19.9)

Dla ładunku punktowego
V =k

Q
r

(19.10)

Potencjał = praca potrzebna do przeniesienia jednostkowego ładunku z nieskończoności
do r od ładunku punktowego Q.
Różnica potencjałów czyli napięcie U pomiędzy dwoma punktami = praca na przeniesienie ładunku jednostkowego między tymi punktami
B

V B − V A = U = W AB = − ∫ E d r

(19.11)

A

19-7

Podobne prace

Do góry