Ocena brak

Dynamika punktu materialnego II

Autor /vanessa Dodano /07.03.2011

Wymagany Adobe Flash Player wesja 10.0.0 lub nowsza.

praca w formacie pdf Dynamika punktu materialnego II

Transkrypt

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 5
5. Dynamika punktu materialnego II
5.1 Siły kontaktowe i tarcie
5.1.1 Siły kontaktowe
Gdy dwa ciała są dociskane do siebie to występują między nimi siły kontaktowe.
Źródłem tych sił jest odpychanie pomiędzy atomami. Przy dostatecznie małej odległości
występuje przekrywanie chmur elektronowych i ich odpychanie rosnące wraz z malejącą odległością. To jest siła elektromagnetyczna i może być bardzo duża w porównanie
z siłami grawitacyjnymi.
Jeżeli siła ciężkości pcha blok w dół siłą Fg to powstaje druga siła - siła kontaktowa
F1. Siła wypadkowa Fwyp = 0. We wszystkich przypadkach stosowania drugiej zasady
dynamiki Newtona jest bardzo istotne, żeby obliczyć siłę wypadkową.
Przykład 1
Rozważmy dwa klocki m1 i m2 na gładkiej powierzchni. Do klocka m1 przyłożono siłę F. Czy siła F jest przenoszona poprzez klocek 1 na klocek 2? Gdyby tak było to
zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona klocek 2 działałby na klocek 1 siłą równą i
przeciwnie skierowaną. Wtedy Fwyp równałaby się zero!!!!, czyli, że nie można by było
poruszyć ciała 1 bez względu na to jak duża jest siła F.

F

m2

m1
-Fk

Fk

Zasada Newtona nie mówi, że siła F jest przenoszona przez klocek 1 na klocek 2; powinno się przyjąć siłę kontaktową Fk o dowolnej wartości. Ogólnie: powinno się stosować drugą zasadę dynamiki oddzielnie do każdego ciała.
Dla klocka 1 otrzymujemy wtedy
F - Fk = m1a
Dla klocka 2
Fk = m2a
Stąd przyspieszenie
a = F/(m1 + m2)
Zauważmy, że ten wynik można otrzymać gdy traktujemy te dwa klocki jak jedną masę
m = m1 + m2.
5.1.2 Tarcie
Siły kontaktowe, o których mówiliśmy są normalne (prostopadłe) do powierzchni.
Istnieje jednak składowa siły kontaktowej leżąca w płaszczyźnie powierzchni. Jeżeli
ciało pchniemy wzdłuż stołu to po pewnym czasie ciało to zatrzyma się. Z drugiej zasady dynamiki wiemy, że jeżeli ciało porusza się z przyspieszeniem to musi działać siła.
Taką siłę nazywamy siłą tarcia.

5-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Rozważmy np. klocek, do którego przykładamy "małą" siłę F tak, że klocek nie porusza się. Oznacza to, że sile F przeciwstawia się siła tarcia T. Mamy więc: T = -F.
Zwiększamy stopniowo siłę F aż klocek zaczyna się poruszać. Im gładsza powierzchnia
tym szybciej to nastąpi. Oznacza to, że siła tarcia zmienia się od wartości zero do pewnej wartości krytycznej w miarę wzrostu siły F. Oznaczmy tę krytyczną siłę Ts
(s-statyczna). To jest maksymalna siła tarcia statycznego.
Ts (dla pary powierzchni suchych) spełnia dwa prawa empiryczne:
• Jest w przybliżeniu niezależna od powierzchni zetknięcia (w szerokim zakresie),
• Jest proporcjonalna do siły normalnej (prostopadłej) z jaką jedna powierzchnia naciska na drugą.
Stosunek siły Ts do nacisku FN nazywamy współczynnikiem tarcia statycznego µs

µs =

Ts
FN

(5.1)

Uwaga: Mówimy tylko o wartościach tych sił bo są one do siebie prostopadłe. Jeżeli F
jest większe od Ts to klocek poruszy się, ale będzie istniała siła tarcia Tk (k - kinetyczna) przeciwstawiająca się ruchowi.
Siła Tk spełnia trzy prawa empiryczne:
• Jest w przybliżeniu niezależna od powierzchni zetknięcia (w szerokim zakresie),
• Jest proporcjonalna do siły normalnej (prostopadłej) z jaką jedna powierzchnia naciska na drugą,
• Nie zależy od prędkości względnej poruszania się powierzchni.
Istnieje odpowiedni współczynnik tarcia kinetycznego µk

µk =

Tk
FN

(5.2)

Dla większości materiałów µk jest nieco mniejszy od µs. Np. µk ≈ 1 dla opon na jezdni
betonowej.
Tarcie jest bardzo złożonym zjawiskiem i wyjaśnienie go wymaga znajomości oddziaływań atomów na powierzchni. Nie będziemy się tym zajmować. Ograniczmy się
do zauważenia, że tarcie odgrywa bardzo istotną rolę w życiu codziennym. W samochodzie np. na pokonanie siły tarcia zużywa się około 20% mocy silnika. Tarcie powoduje zużywanie poruszających się części maszyn. Staramy się je zwalczać. Z drugiej
strony bez tarcia nie moglibyśmy chodzić, jeździć samochodami, trzymać ołówka, kredy, czy też nimi pisać.
5.2 Siły bezwładności
We wstępie wyszczególnione zostały cztery rodzaje sił występujących w przyrodzie.
Wszystkie te siły nazywamy siłami rzeczywistymi, ponieważ możemy je zawsze związać z jakimś konkretnym ciałem, możemy podać ich pochodzenie. Czy to samo możemy powiedzieć np. o takich siłach jakich działania "doznajemy" np. przy przyspieszaniu, hamowaniu czy zakręcaniu samochodu?

5-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Przykład 2
Dwaj obserwatorzy opisują ruch kulki w sytuacji pokazanej na rysunku poniżej.
Jeden z obserwatorów znajduje się w wózku a drugi stoi na Ziemi. Wózek początkowo
porusza się ze stałą prędkością po linii prostej (rys. 1), następnie hamuje ze stałym
opóźnieniem a (rys. 2). Między kulką a wózkiem nie ma tarcia.

(1)

vk=0, F=0

v

(2)

F1=-ma
-a

a

vk=const, F=0

vk=const, F=0

Gdy wózek jedzie ze stałą prędkością to obydwaj obserwatorzy stwierdzają zgodnie na
podstawie pierwszej zasady dynamiki, że na kulkę nie działa żadna siła. Zwróćmy uwagę, że obserwatorzy znajdują się w inercjalnych układach odniesienia. Sytuacja zmienia
się gdy wózek zaczyna hamować (rys. 2). Obserwator związany z Ziemią dalej twierdzi,
że kulka porusza się ze stałą prędkością, a tylko podłoga wózka przesuwa się pod nim.
Natomiast obserwator w wózku stwierdza, że kulka zaczyna się poruszać się z przyspieszeniem –a w stronę przedniej ściany wózka. Dochodzi do wniosku, że na kulkę o masie mk zaczęła działać siła
F1 = - mka
ale nie może wskazać żadnego ciała, będącego źródłem tej siły. Mówiliśmy już, że druga zasada dynamiki jest słuszna tylko w inercjalnym układzie odniesienia. Zauważmy,
że obserwator w wózku znajduje się teraz w układzie nieinercjalnym. Widać, że jest w
błędzie; nie istnieje rzeczywista siła F1. Jest to tak zwana pozorna siła bezwładności.
Powstaje więc pytanie jak postępować gdy musimy rozwiązać problem w układzie
nieinercjalnym. W tym celu rozpatrzmy dalszy ruch kulki. Gdy dotrze ona do przedniej
ścianki to wówczas według obserwatora na Ziemi (układ inercjalny) będzie poruszać się
z przyspieszeniem a (takim jak wózek) bo działa na nią siła Fs sprężystości przedniej
ściany wózka równa
Fs = mka
Natomiast obserwator w wózku stwierdza, że kulka przestała się poruszać; spoczywa
względem niego. Jego zdaniem siła sprężystości ściany Fs równoważy siłę F1, tak że
siła wypadkowa jest równa zeru i kulka nie porusza się
Fs + F1 = 0
co po podstawieniu za F1 = - mka daje

5-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Fs = mka
Okazuje się, że wynik otrzymany przez obserwatora w układzie nieinercjalnym jest taki
sam jak dla obserwatora związanego z Ziemią ale pod warunkiem uwzględnienia sił pozornych. Siły te "znikają" jeśli rozpatrujemy ruch z punktu widzenia układu inercjalnego. Wprowadzenie ich pozwala po prostu na stosowanie mechaniki klasycznej do opisu
zdarzeń w układach poruszających się z przyspieszeniem. W takim układzie uwzględniamy, że na każde ciało działa siła wprost proporcjonalna do masy tego ciała, do przyspieszenia układu a i jest skierowana przeciwnie do a.
Przykład 3
Winda porusza się ruchem jednostajnie zmiennym. Czas spadania ciała puszczonego
swobodnie w tej windzie, na drodze od sufitu do podłogi, jest o 25% większy niż w
windzie stojącej. Obliczyć przyspieszenie windy. Dane jest przyspieszenie ziemskie g.
Rozwiązujemy zadanie w układzie inercjalnym i nieinercjalnym tzn. obserwator w jednym przypadku znajduje się na zewnątrz windy, a w drugim jest pasażerem tej windy.

H

h
W przypadku pierwszym obserwator "widzi" (mierzy), że ciało przebywa dłuższą drogę
gdy winda jest w ruchu.
Dla windy stojącej
gt12
H =
2
Dla windy w ruchu
gt 2
H +h= 2
2
oraz
at 2
h= 2
2
przy czym
t2 =

5
t1
4

Rozwiązanie tego układu równań daje wynik a =

9
g
25

5-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Drugi obserwator za każdym razem widzi, że ciało przebywa tę samą drogę H od sufitu
do podłogi ale w różnych czasach. Wniosek: w obu przypadkach jest różne przyspieszenie. Obserwator wprowadza do obliczeń dodatkową siłę nadającą przyspieszenie –a.
Odpowiednie równania wyglądają teraz:
Dla windy stojącej
gt 2
H = 1
2
Dla windy w ruchu
2
( g − a )t 2
H=
2
Uwzględniając, że
5
t 2 = t1
4
9
g.
otrzymujemy a =
25
Tak więc uwzględnienie sił bezwładności jest konieczne jeżeli chcemy stosować zasady
dynamiki w układach nieinercjalnych.
W takim układzie uwzględniamy, że na każde ciało działa siła wprost proporcjonalna do
masy tego ciała, do przyspieszenia układu a i jest skierowana przeciwnie do a.
Inny przykład stanowią układy nieinercjalne poruszające się ruchem obrotowym.
Np. obserwator w satelicie krążącym wokół Ziemi obserwując ciało spoczywające w
tym satelicie stwierdza, że siła wypadkowa działająca na ten obiekt jest równa zeru.
Musi więc istnieć, według niego, siła która równoważy siłę grawitacji (dośrodkową).
Siłę tę nazywamy siłą odśrodkową i jest to siła pozorna.
Na zakończenie rozpatrzmy ruch postępowy ciała w obracającym się układzie odniesienia. Przykładem może być człowiek poruszający się po linii prostej (radialnie) od
środka do brzegu karuzeli obracającej się z prędkością kątową ω. Na rysunku poniżej
pokazana jest zmiana prędkości człowieka.
vs

vr
A'

vs
r+∆r

∆θ

r

vr

vr

A

∆θ

∆ vr
vr

ω

Linia (promień) wzdłuż której porusza się człowiek zmienia swój kierunek (karuzela
obraca się) o kąt ∆θ w czasie ∆t, człowiek zmienia swoje położenie z punktu A do A'.
Obliczymy teraz zmianę jego prędkości radialnej vr i stycznej vs. Prędkość radialna
zmienia swój kierunek.
5-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Prędkość styczna natomiast zmienia zarówno kierunek (przyspieszenie dośrodkowe) ale
również wartość bo człowiek oddala się od środka (rośnie r).
Najpierw rozpatrzmy różnicę prędkości vr w punktach A i A' pokazaną na powyższym
rysunku po prawej stronie. Dla małego kąta ∆θ (tzn. małego ∆t) możemy napisać
∆vr = vr ∆θ
Jeżeli obustronnie podzielimy równanie przez ∆t to w granicy ∆t
a1 =

0 otrzymamy

dv r

= vr
= v rω
dt
dt

Zmienia się również prędkość styczna bo człowiek porusza się wzdłuż promienia. W
punkcie A prędkość styczna vs = ωr, a w punkcie A' vs' = ω(r+∆r). Zmiana prędkości
stycznej wynosi więc
∆vs = ω(r+∆r) - ωr = ω∆r
Jeżeli obustronnie podzielimy równanie przez ∆t to w granicy ∆t
a2 =

0 otrzymamy

dv s
dr

= ωv r
dt
dt

Przyspieszenia a1 i a2 mają ten sam kierunek (równoległy do vs) więc przyspieszenie
całkowite wynosi
a = a1 + a2 = 2ωvr
(5.3)
Przyspieszenie to jest nazywane przyspieszeniem Coriolisa. Pochodzi ono stąd, że nawet przy stałej prędkości kątowej ω rośnie prędkość liniowa człowieka bo rośnie r.
Gdyby człowiek stał na karuzeli to obserwator stojący na ziemi mierzyłby tylko przyspieszenie dośrodkowe (ω2r) skierowane do środka wzdłuż promienia. Natomiast gdy
człowiek idzie na zewnątrz to obserwator rejestruje także przyspieszenie Coriolisa (o
kierunku równoległym do vs). Oczywiście musi istnieć siła działająca w tym kierunku.
Jest nią w tym przypadku siła tarcia między podłogą i butami idącego człowieka.
Jednak obserwator związany z karuzelą nie widzi ani przyspieszenia dośrodkowego ani
przyspieszenia Coriolisa, człowiek poruszający się wzdłuż promienia jest w stanie równowagi w układzie karuzeli. A przecież istnieje realnie odczuwalna (rzeczywista) siła
tarcia. Żeby wyeliminować tę rozbieżność obserwator stojący na karuzeli wprowadza
dwie siły pozorne równoważące siłę tarcia. Jedna to siła odśrodkowa, a druga to siła
Coriolisa. Siła odśrodkowa działa radialnie na zewnątrz, a siła Coriolisa stycznie ale
przeciwnie do vs.
Ogólnie, na ciało o masie m poruszające się ruchem postępowym z prędkością v w obracającym się układzie odniesienia działa siła bezwładności zwana siłą Coriolisa Fc
Fc = 2mv×ω

(5.4)
5-6

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wprowadzenie sił pozornych (nie umiemy pokazać ich źródła) jest konieczne aby móc
stosować mechanikę klasyczną w układach nieinercjalnych.
Ziemia nie jest idealnym układem inercjalnym ponieważ wiruje. W wyniku tego obrotu w zjawiskach zachodzących na Ziemi obserwujemy siłę Coriolisa. Przykładowo,
rzeki płynące na półkuli północnej podmywają silniej prawy brzeg. Również ciała spadające swobodnie odchylają się od pionu pod działaniem tej siły. W większości rozpatrywanych przez nas zjawisk można jednak zaniedbać wpływ ruchu Ziemi na ich przebieg.

5-7

Podobne prace

Do góry