Ocena brak

Dyfrakcja

Autor /vanessa Dodano /07.03.2011

Wymagany Adobe Flash Player wesja 10.0.0 lub nowsza.

praca w formacie pdf Dyfrakcja

Transkrypt

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 29
29. Dyfrakcja
Zjawisko dyfrakcji (ugięcia) odkrył Grimaldi (XVII w). Polega ono na uginaniu się
promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny).
Wyjaśnienie dyfrakcji w oparciu o zasadę Huyghensa - Fresnel (przełom XVIII i XIX
w). (W jego czasach wierzono, że fale świetlne są falami mechanicznymi w przenikającym wszechświat eterze. Dopiero Maxwell pokazał, że fale świetlne są falami elektromagnetycznymi, a Einstein odrzucił postulat konieczności istnienia eteru).
Rysunek (a) pokazuje ogólnie na czym polega dyfrakcja.
P

a)

S

B

C

Fala ze źródła S pada na szczelinę B i przechodzące przez otwór pada na ekran C. Natężenie w punkcie P można obliczyć dodając do siebie wszystkie zaburzenia falowe (tj.
wektory E). Te zaburzenia falowe mają różne amplitudy i fazy ponieważ:
• elementarne źródła Huyghensa (punkty w szczelinie) są w różnych odległościach od
punktu P.
• światło opuszcza te punkty pod różnymi kątami.
Taka sytuacja gdy fale opuszczające otwór nie są płaskie (promienie nie są równoległe)
pojawia się gdy źródło fal S i ekran (C), na którym powstaje obraz znajdują się w skończonej odległości od ekranu ze szczeliną (B). Taki przypadek nosi nazwę dyfrakcji
Fresnela. Obliczenia natężeń światła są w tej sytuacji trudne.
Całość upraszcza się, gdy źródło S i ekran C odsuniemy na bardzo duże odległości od
otworu uginającego. Ten graniczny przypadek nazywamy dyfrakcją Fraunhofera. Czoła
fal padających jak i ugiętych są płaszczyznami (promienie są równoległe) tak jak to widać na rysunku (b).
b)
do bardzo
odległego
ekranu

z bardzo
odległęgo
źródła

θ

B

29-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Warunki do wystąpienia dyfrakcji Fraunhofera można zrealizować w laboratorium za
pomocą dwu soczewek (rysunek c).
c)
P
θ

S

f

f

B

C
Pierwsza soczewka zmienia falę rozbieżną w równoległa, a druga skupia w punkcie P
fale płaskie opuszczające otwór. Wszystkie promienie oświetlające punkt P opuszczają
otwór równolegle do linii przerywanej (przechodzącej przez środek soczewki). Warunki
dyfrakcji Fraunhofera były z założenia spełnione w doświadczeniu Younga.
W dalszej części wykładu będziemy zajmować się tylko dyfrakcją Fraunhofera.
29.1

Pojedyncza szczelina

Rysunek pokazuje falę płaską padającą prostopadle na szczelinę o szerokości a.
Rozpatrzmy punkt środkowy P0 ekranu. Równoległe promienie przebywają do tego
punktu te same drogi optyczne (różne geometryczne) tzn. promienie zawierają tę samą
ilość długości fal (soczewki cienkie). Ponieważ w szczelinie promienie są zgodne w fazie to po przebyciu takich samych dróg optycznych nadal pozostają zgodne w fazie.
Dlatego w środkowym punkcie P0 będzie maksimum.

P0

a

f
B

C

Rozpatrzmy teraz inny punkt P1 na ekranie (rysunek poniżej). Promienie docierające do
P1 wychodzą ze szczeliny pod kątem θ. Jeden promień ma początek u góry szczeliny, a
drugi w jej środku. (Promień xP1 przechodzi przez środek soczewki więc nie jest odchylany).

29-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

P1

θ
a

b’
θ

b

P0

x
λ/2

Jeżeli wybierzemy punkt P1 tak, żeby różnica dróg bb’ wynosiła λ/2 to promienie zgodne w fazie w szczelinie będą miały w punkcie P1 fazy przeciwne i wygaszą się. Podobnie każdy inny promień wychodzący z górnej połowy szczeliny będzie się wygaszał z
odpowiednim promieniem z dolnej połówki leżącym w odległości a/2 poniżej. Punkt P1
będzie miał natężenie zerowe (pierwsze minimum dyfrakcyjne). Warunek opisujący to
minimum ma następującą postać
1
1
a sin θ = λ
2
2
czyli

asinθ = λ

Uwaga: Gdyby szerokość szczeliny była równa λ wtedy pierwsze minimum pojawiłoby
się dla θ = 90° czyli środkowe maksimum wypełniłoby cały ekran. W miarę rozszerzania szczeliny środkowe maksimum staje się węższe. (Podobnie było dla interferencji
Younga w miarę zmiany odległości między szczelinami punktowymi). Podobne rozważania możemy powtórzyć dla wielu punktów szczeliny i otrzymamy ogólne wyrażenie
dla minimów obrazu dyfrakcyjnego w postaci
asinθ = mλ,

m = 1, 2, 3,...... (minimum)

(29.1)

Mniej więcej w połowie między każdą para sąsiednich minimów występują oczywiście
maksima natężenia.
29.2

Pojedyncza szczelina, rozważania jakościowe

Teraz chcemy znaleźć wyrażenie na rozkład natężenia w całym obszarze dyfrakcyjnym w funkcji kąta θ. Teraz zrobimy to jakościowo.
Wyobraźmy sobie, że szczelinę o szerokości a dzielimy na N pasków o małej szerokości ∆x. Każdy pasek jest źródłem fal kulistych Huyghensa, które wytwarzają na ekranie
określone zaburzenie falowe.

29-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

∆x sinθ

P

θ

a

P0

θ

B

C

Różnica dróg między sąsiednimi paskami wynosi ∆xsinθ stąd różnica faz ∆ϕ pomiędzy
falami pochodzącymi z sąsiednich pasków wynosi
∆ϕ ∆x sin θ
=

λ
czyli
∆ϕ =



λ

∆x sin θ

• Zakładamy, że paski są tak wąskie, że wszystkie punkty na danym pasku mają tę samą drogę optyczną do punktu P (całe światło ma tę samą fazę).
• Dla małych kątów θ amplitudy ∆E0 zaburzeń falowych w punkcie P pochodzące od
różnych pasków przyjmujemy za jednakowe.
Zatem w punkcie P dodaje się N wektorów (pól elektrycznych E) o tej samej amplitudzie ∆E0, tej samej częstości i tej samej różnicy faz ∆ϕ między kolejnymi wektorami.
Szukamy zatem zaburzenia wypadkowego dla różnych punktów P, tzn. dla różnych kątów θ, tzn. dla różnych ∆ϕ.
Poniżej na rysunkach przedstawione jest zaburzenie wypadkowe dla kilku różnych
miejsc na ekranie.
• Rysunek (a) przedstawia warunki dla maksimum środkowego (∆ϕ=0°).
• Rysunek (b) przedstawia warunki dla kierunku nieco odmiennego od maksimum
środkowego (∆ϕ=5°).
• Rysunek (c) przedstawia warunki dla pierwszego minimum (∆ϕ=30°).
• Rysunek (d) przedstawia warunki bliskie pierwszemu maksimum (poza środkowym)
(∆ϕ=42°).

29-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Eθ = EM
Eθ = 0

a)
c)


d)



b)

Zwróćmy uwagę, że długość łuku jest zawsze równa EM ale amplituda Eθ jest różna.
Wektory na rysunku odpowiadają amplitudom (a nie natężeniom). Żeby otrzymać natężenia trzeba je podnieść do kwadratu. W przeciwieństwie do obrazu interferencyjnego
natężenia kolejnych maksimów nie są jednakowe.
29.3

Pojedyncza szczelina, rozważania ilościowe

Na rysunku poniżej jest przedstawiona konstrukcja służąca do obliczenia natężenia
światła w przypadku dyfrakcji na jednej szczelinie. Sytuacja odpowiada tej pokazanej
na poprzednim rysunku (b).

α

α
ϕ

R

R

Em

ϕ

Em

Jeżeli szczelinę podzielimy na nieskończenie wiele małych pasków o szerokości dx to
łuk strzałek będzie łukiem koła o promieniu R. Długość łuku wynosi Em czyli równa jest
amplitudzie w środku obrazu dyfrakcyjnego (linia prosta strzałek).
Kąt ϕ w dolnej części rysunku przedstawia różnicę fazy między skrajnymi wektorami w
łuku tzn. ϕ jest różnicą faz pomiędzy promieniami wychodzącymi z góry i dołu szczeliny.

29-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Jak widać z rysunku


2 = sin ϕ
R
2

czyli
Eθ = 2 R sin

ϕ
2

(29.2)

W mierze łukowej
Em
R

ϕ=
Stąd

Em

R=

ϕ

Podstawiając do równania (29.2) otrzymamy
Em

Eθ =

ϕ

2

sin

ϕ
2

czyli
Eθ =

Em

α

sin α

(29.3)

gdzie α = ϕ/2.
Przypomnijmy, że ϕ jest różnicą faz dla promieni wychodzących z krańców szczeliny.
Ponieważ różnica dróg dla tych promieni wynosi asinθ (a szerokość szczeliny) więc
możemy posłużyć się znanym związkiem
różnica faz/2π = różnica dróg/λ
otrzymując

ϕ=

2πa

λ

sin θ

lub

α=

ϕ πa
=
sin θ
2 λ

(29.4)

Teraz możemy już obliczyć natężenie światła dla dyfrakcji na pojedynczej szczelinie.
Natężenie jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy. Otrzymujemy więc

29-6

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 sin α 
Iθ = I m 

 α 

2

(29.5)

Wyrażenie na natężenie przyjmuje wartość minimalną dla

α = mπ, m = 1, 2, 3,....
Podstawiając do równania (29.4) otrzymujemy
asinθ = mλ, m = 1, 2, 3, ..... (minimum)
Jest to wynik zgodny z uzyskanym poprzednio (rozważania jakościowe).
Obliczmy teraz względne natężenia kolejnych maksimów dyfrakcyjnych.
Maksima leżą w środku pomiędzy minimami, a więc w punktach, dla których

α = (m+1/2)π, m = 1, 2, 3,.......
Podstawiając to do równania (29.5) na natężenie otrzymujemy
Iθ/Im = 0.045, 0.016, 0.008 dla m = 1, 2, 3. Widać, że natężenia kolejnych maksimów
bardzo szybko maleją.
Na rysunku poniżej przedstawiono krzywe Iθ dla różnych szerokości szczeliny (w stosunku do długości fali λ) w funkcji położenia na ekranie (kąta θ).

względne natężenie

a=λ

10

5

θ (deg)

a=5λ

a=10λ
5

10

29-7

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

29.4

Równoczesna interferencja i dyfrakcja na dwóch szczelinach

W doświadczeniu Younga szczeliny były wąskie ( a

Podobne prace

Do góry