Ocena brak

Drgania elektromagnetyczne

Autor /vanessa Dodano /07.03.2011

Wymagany Adobe Flash Player wesja 10.0.0 lub nowsza.

praca w formacie pdf Drgania elektromagnetyczne

Transkrypt

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 24
24. Drgania elektromagnetyczne
24.1 Wstęp
Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu
M
Rozwiązania

d2 x
= − kx
dt2

x = Acosωt
v = dx/dt = Aωsinωt
a = d2x/dt2 = – Aω2cosωt

przy warunku ω = (k/M)1/2.
24.2 Obwód LC
Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L i pojemności
C. Opór omowy jest równy zeru (R = 0). Załóżmy, że w chwili początkowej na
kondensatorze C jest nagromadzony ładunek qm, a prąd przez cewkę jest równy zeru.
Energia zawarta w kondensatorze
WC = qm2/(2C)

(24.1)

WL = LI2/2

(24.2)

jest maksymalna, a energia w cewce

jest równa zeru.
Po zamknięciu obwodu, kondensator rozładowuje się przez cewkę. W obwodzie płynie
prąd I = dq/dt. W miarę jak maleje ładunek na kondensatorze maleje też energia zawarta
w polu elektrycznym kondensatora, a rośnie energia pola magnetycznego, które pojawia
się w cewce w miarę narastania w niej prądu.
Wreszcie gdy ładunek spadnie do zera cała energia jest przekazana do pola
magnetycznego cewki. Prąd w cewce indukcyjnej ma maksymalną wartość. Ten prąd
ładuje kondensator (przeciwnie) więc energia jest ponownie przekazywana do
kondensatora. Stan końcowy jest taki jak początkowy tylko kondensator jest
naładowany odwrotnie. Sytuacja powtarza się. Mamy więc do czynienia z oscylacjami
ładunku (prądu).

24-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Opis ilościowy
Z prawa Kirchoffa
UL + UC = 0
L

dI q
+ =0
dt C

(24.3)

L

q
d2 q
=−
2
C
dt

(24.4)

Ponieważ I = dq/dt więc

To jest równanie analogiczne do przypomnianego równania dla sprężyny, przy czym
następujące wielkości są analogiczne
q ↔ x, L ↔ M, 1/C ↔ k
Tak więc możemy napisać rozwiązanie tego równania
q = qmcosωt
I = dq/dt = qmωsinωt = Imsinωt

ω = (1/LC)1/2

(24.5)

gdzie Im = qmω
UL = - LdI/dt = – LImωcosωt
UC = q/c = (qm/C)cosωt
Ponieważ

LImω = Lqmω2 = Lqm(1/LC) = qm/C

widać, że amplitudy napięć są takie same.
24.3 Obwód szeregowy RLC
Dotychczas rozważaliśmy obwód zwierający indukcyjność L oraz pojemność C.
Tymczasem każdy obwód ma pewien opór R, przykładowo jest to opór drutu z którego
nawinięto cewkę. Obecność oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci
wydzielającego się ciepła. Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy drgania
tłumione analogiczne do drgań tłumionych sprężyny opisanych w wykładzie 12, przy
czym współczynnik tłumienia 1/2τ jest równy R/2L.
Drgania w obwodzie RLC można podtrzymać jeżeli obwód będziemy zasilać
napięciem sinusoidalnie zmiennym
U (t ) = U 0 sin ω t

24-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Prawo Kirchhoffa dla obwodu zawierającego elementy R, L, C oraz źródło SEM ma
postać
dI
q
+ RI + = U 0 sin ωt
dt
C

(24.6)

d2 I
dI I
+R
+ = ωU 0 cos ωt
2
dt C
dt

(24.7)

ωU 0
d2 I R d I
I
+
+
=
cos ωt
2
L d t LC
L
dt

(24.8)

L
różniczkując po dt
L
albo

To jest równanie analogiczne do omawianego dla oscylatora wymuszonego przy R/L ↔
1/τ, 1/LC ↔ ω02 oraz ωU0/L ↔ α0.
Rozwiązanie ma więc analogiczną postać I = I 0 sin(ω t − ϕ ) .
Amplituda wynosi więc
I0 =

V0
1 

R 2 +  ωL −

ωC 


2

(24.9)

a między napięciem i natężeniem prądu istnieje różnica faz, dana równaniem

ωL −
tg ϕ =

1
ωC

(24.10)

R

Wyrażenie (24.9) ma postać prawa Ohma przy czym stała proporcjonalności pomiędzy
U0 i I0
1 

Z = R +  ωL −

ωC 

2

2

(24.11)

pełni analogiczną rolę jak opór R w prawie Ohma. Wielkość Z nazywamy impedancją
(zawadą) obwodu.
q
Gdy zmienne sinusoidalne napięcie przyłożymy do kondensatora to U =
C
Stąd
I
dU
=
dt C

24-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

co dla U=U0sinωt daje

ωU 0 cos ωt =

I
C

Stąd
I = ωCU 0 cos ωt = ωCU 0 sin(ωt + 90 o )
Widać, że prąd wyprzedza napięcie na kondensatorze o 90°.
Maksymalny prąd I0 = U0/(ωC) a stała proporcjonalności 1/ωC pełniąca rolę
analogiczną do oporu w obwodzie prądu stałego nazywamy reaktancją pojemnościową.
XC = 1/ωC

(24.12)

Jeżeli generator prądu zmiennego podłączymy do cewki indukcyjnej to analogicznie
można pokazać, że
I =−

U0
U
cos ωt = 0 sin(ωt − 90 o )
ωL
ωL

Prąd pozostaje za napięciem o 90°, a reaktancja indukcyjna ma wartość
XL = ωL

(24.12)

Zauważmy, że w obwodzie RLC, pomimo połączenia szeregowego oporów omowego,
pojemnościowego i indukcyjnego ich opór zastępczy (zawada) nie jest prostą sumą tych
oporów. Wynika to właśnie z przesunięć fazowych.
Trzeba je uwzględnić przy dodawaniu napięć.
U = UR + UC + UL
czyli

U = I0Rsinωt - XCI0cosωt + XLI0cosωt

(na kondensatorze U pozostaje za I, na cewce U wyprzedza I)
Stąd
U0
= R sin ωt + ( X L − X C ) cos ωt
I0
Mamy teraz dodać sinus i cosinus graficznie tak jak na rysunku.
Możemy przy tym skorzystać z wyrażenia (24.10) według, którego tgϕ = (XL - XC)/R
.Relacja ta jest pokazana na rysunku poniżej
Zauważmy, ze przeciwprostokątna trójkąta na rysunku jest równa zawadzie
Z = (R2 + (XL - XC)2)1/2.

24-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Z
(XL - XC)
ϕ
R

24.3.1 Rezonans
Drgania ładunku, prądu i napięcia w obwodzie odbywają się z częstością zasilania
ω. Amplituda tych drgań zależy od ω i osiąga maksimum dla pewnej charakterystycznej
wartości tej częstości. Przypomnijmy, że zjawisko to nazywamy rezonansem. Dla
małego oporu R czyli dla małego tłumienia warunek rezonansu jest spełniony gdy

ω = ω0 =

1
LC

(24.13)

Natężenie prądu osiąga wtedy wartość maksymalną równą
I0 =

U0
R

(24.14)

Widzimy, że natężenie prądu w obwodzie jest takie, jak gdyby nie było w nim ani
pojemności ani indukcyjności, a zawada wynosiła R.
Przykład
Drgania wymuszone w obwodzie można także wywołać bez włączania bezpośredniego
źródła SEM w postaci generatora. Przykładem może być układ RLC w obwodzie
wejściowym radioodbiornika (telewizora) pokazany na rysunku poniżej. Układ ten jest
zasilany sygnałem z anteny.

W układzie dostrojenie do częstotliwości danej radiostacji jest osiągane przez dobranie
pojemności. W ten sposób jest spełniony warunek rezonansu dla tej częstotliwości.
24-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Przyjmijmy, że w pokazanym układzie R = 10 Ω, a L = 1 µH. Sprawdźmy, jaka
powinna być pojemność C aby uzyskać dostrojenie odbiornika (rezonans) do stacji
"Jazz Radio", która w Krakowie nadaje na częstotliwości 101 MHz?
Korzystając z warunku (24.13) otrzymujemy C = 2.48 pF.
W warunkach rezonansu napięcie na kondensatorze (w obwodzie RLC) jest równe
U C , rez = I 0 X C =

U0 1
U
= 0
R ω 0C
R

L
C

Jeżeli sygnał wejściowy z anteny ma amplitudę 100 µV to napięcie na kondensatorze
przy częstotliwości rezonansowej ma wartość 6.35 mV. Dla porównania napięcie na
kondensatorze przy tych samych ustawieniach R, L, C i sygnale o tej samej amplitudzie
ale o częstotliwości 96.0 MHz (radio "RMF") wynosi 1 mV.
24.3.2 Moc w obwodzie prądu zmiennego
W obwodzie prądu przemiennego moc dana analogicznym wyrażeniem jak dla
prądu stałego
P(t ) = U (t ) I (t )

(24.15)

ale wartość jej zmienia się bo zmienne jest napięcie i natężenie prądu. Dlatego też w
przypadku prądu zmiennego posługujemy się wartościami średnimi. Zgodnie z naszymi
obliczeniami moc w obwodzie RLC w dowolnej chwili t wynosi
P(t ) = U (t ) I (t ) = U 0 I 0 sin ω t sin(ω t − ϕ )
Korzystając ze wzoru na sinus różnicy kątów otrzymujemy
1
P (t ) = U 0 I 0 sin ω t (sin ω t cos ϕ − cos ω t sin ϕ ) = U 0 I 0 (sin 2 ω t cos ϕ − sin 2ω t sin ϕ )
2
gdzie skorzystaliśmy z relacji sin ω t cos ω t = sin 2ω t 2 . Moc średnia jest więc dana
wyrażeniem
1
P = U 0 I 0 (sin 2 ω t cos ϕ − sin 2ω t sin ϕ )
2
Ponieważ sin 2 ω t + cos 2 ω t = 1 to sin 2 ω t = cos 2 ω t = 1 2 (wykresy sinus i cosinus są
takie same, jedynie przesunięte o π/2). Ponadto sin 2ω t = 0 bo funkcja sinus jest na
przemian dodatnia i ujemna. Uwzględniając, ponadto że U0 = ZI0 oraz, że (zgodnie z
rysunkiem na stronie 24-4) cos ϕ = R Z otrzymujemy wyrażenie na moc średnią
P=

U0I0
( ZI 0 ) I 0 R I 02 R
cos ϕ =
=
2
2
Z
2

(24.16)

24-6

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Jak widzimy, średnia moc zależy od przesunięcia faz. Przypomnijmy, że dla prądu
stałego P = I2R. Z porównania tych dwóch wyrażeń dochodzimy do wniosku, że moc
średnia wydzielana przy przepływie prądu zmiennego o amplitudzie I0 jest taka sama
jak prądu stałego o natężeniu
I
I sk = 0
(24.17)
2
Tę wielkość nazywamy wartością skuteczną prądu zmiennego. Analogicznie
definiujemy skuteczną wartością napięcia prądu zmiennego
U sk =

U0
2

(24.18)

Mierniki prądu zmiennego (np. amperomierze i woltomierze) odczytują właśnie
wartości skuteczne. Wartość napięcia 220 V w naszej sieci domowej to wartość
skuteczna.
Obliczyliśmy moc średnią wydzielaną w całym obwodzie. Porównajmy ją teraz ze
średnią mocą traconą na oporze R
I 02 R
2
2
2
PR = I (t )R = I 0 sin ω t R =
2
Widzimy, że cała moc wydziela się na oporze R, a to oznacza, że na kondensatorze i
cewce nie ma strat mocy. Zwróćmy uwagę, że ten wniosek pozostaje w zgodności
z naszymi wcześniejszymi obliczeniami. Gdy w obwodzie znajduje się tylko pojemność
lub indukcyjność (nie ma oporu omowego) to przesuniecie fazowe jest równe π/2, a
ponieważ cos(π/2) = 0 to zgodnie z równaniem (24.16) średnia moc jest równa zeru.
Jednocześnie zauważmy, że moc chwilowa zmienia się z czasem; raz jest dodatnia
(energia jest gromadzona w polu elektrycznym kondensatora lub magnetycznym
cewki), a raz ujemna (zgromadzona moc jest oddawana do układu).
Omawiane obwody, w których elementy R, L, C stanowiły odrębne części
nazywamy obwodami o elementach skupionych. W praktyce jednak mamy do czynienia
z elementami, które mają złożone własności. Przykładem może tu być cewka, która
oprócz indukcyjności L ma zawsze opór R oraz pojemność międzyzwojową C. Mamy
wtedy do czynienia z obwodami o elementach rozłożonych.

24-7

Podobne prace

Do góry