Ocena brak

Co to są permutacje?

Autor /Eder Dodano /31.01.2012

W odniesieniu do rzutu dwoma monetami mate­matycy powiedzieliby, że mamy tu do czynienia z czterema możliwymi permutacjami orla i resz­ki. ale tylko z trzema możliwymi, ich kombinacja­mi. Wynikorzeł i reszka" stanowi inną permuta­cje niż „reszka i orzeł". Może to być mylące, ponieważ w życiu codziennym używamy tych słów w innym znaczeniu. Kombinacja cyfr 1-2-3-4 nic otworzy sejfu jeżeli jego kod wynosi 1-3-2-4. Chociaż są to dwie identyczne kombinacje matematyczne, to jednak są to różne permutacje. Dlatego powinno się raczej mówić „permutacja numerów", a nie „kombinacja numerów".
Całkowitą liczbę permutacji w przypadku rzutu monetą można obliczyć mnożąc ilość moż­liwych wyników pojedynczego rzutu przez ilość rzucanych monet. Przy rzucie dwoma monetami otrzymujemy 2 x 2=4 permutacje. Jeżeli monet byłoby cztery, otrzymalibyśmy 2 x 2 x 2 x 2=16 permutacji. ,
W podobny sposób możemy obliczyć ilość permutacji przy rzucie kostką. Jeżeli kostki są dwie. ilość możliwych permutacji wyniesie 6x6 =36, w przypadku trzech kostek - 6 x 6 x 6=216.
A jakie jest prawdopodobieństwo, że dwoje przypadkowo wybranych ludzi obchodzi urodzi­ny tego samego dnia? Prawdopodobieństwo ta­kiej zbieżności jest niewielkie i wynosi 1/365.
Podobnie, można by pomyśleć, jest w przy­padku zbieżności daty urodzenia wśród 36 uczniów jednej klasy -prawdopodobieństwo zapewne wynosi 36 na 365, czyli po prostu trochę mniej niż 1/10. Tymczasem, ku naszemu zasko­czeniu, jest ono znacznie wyższe i sięga około 8/10, czyli 80%. W rzeczywistości, zbieżność dnia urodzenia jest w przypadku grupy przekra­czającej 23 osoby zjawiskiem bardzo prawdopo­dobnym.
Problemy z obliczeniem tego rodzaju prawdo­podobieństwa biorą się z ogromnej liczby możli­wych permutacji* Tarą, która obchodzi urodziny tego samego dnia może być Jaś i Marysia lub Marysia i Filip, albo jakakolwiek inna para z tej klasy. A w klasie liczącej 36 uczniów można wy­dzielić 630 różnych par. Wynika to stąd, że może­my na 36 sposobów wybrać pierwszego ucznia z pary i pozostaje nam 35 uczniów, których mo­żemy do niego dołączyć. Mnożąc 36 x 35 otrzy­mujemy 1260 permutacji. Ponieważ jednak per­mutacje typu „Marysia i Jaś" i .Jaś i Marysia" stanowią tę samą kombinację, ostateczna liczba kombinacji będzie dwukrotnie mniejsza i wyniesie 1260/2=630. Nie musimy rozpatrywać każdej z tych możliwości, istnieje prostsza metoda - roz­patrzenie możliwości nie wystąpienia ani jednego przypadku zbieżności urodzin.
Jeżeli poprosimy uczniów, żeby po kolei poda­wali daty swoich urodzin, prawdopodobieństwo tego, że druga będzie różnić się od pierwszej wyniesie 364/365. Prawdopodobieństwo tego. że trzecia będzie inna niż dwie pierwsze będzie równe 363/365, ponieważ mamy już dwie daty, z którymi mogłaby nastąpić zbieżność. Postępu­jąc dalej w ten sposób, dojdziemy do wniosku, że prawdopodobieństwo tego, że urodziny 36 osoby nie pokryją się z pozostałymi 35 wyniesie 330/365, czyli około 90%. Jednakże ostateczny wynik jest iloczynem wszystkich kolejnych ułamków, który po obliczeniu da w efekcie około 20%. Takie jest prawdopodobieństwo tego, że żadna z dat urodzin nie pokryje się z inną. Tak więc prawdopodobieństwo tego, że dwie lub więcej będą takie same wyniesie 80%.

Podobne prace

Do góry