Ocena brak

Ciągi liczbowe i ich własności. granice ciągów liczbowych.

Autor /jekengice Dodano /30.07.2007

WYKŁAD 1 CIĄGI LICZBOWE I ICH WŁASNOŚCI. GRANICE CIĄGÓW LICZBOWYCH.
Ciągiem nazywamy każdą funkcję, określoną nadzbiorze liczb naturalnych lub na jego podzbiorze. Wartość ciągu dla argumentu n oznaczać będziemy (itp. np. ); natomiast ciąg jako funkcję oznaczamy
Ciąg nazywamy: nieskończonym, D = zbiór nieskończony; liczbowym, Zw jest podzbiorem R; ograniczonym z góry, jeżeli. M R, taka, n ; ograniczonym z dołu, , tzn. MR , taka,  n ; ograniczonym, istnieje liczba rzeczywista M>0, taka, n ;
Niech ( ) będzie rosnącym, nieskończonym ciągiem liczb N. Podciągiem ciągu nazywać będziemy ciąg o wyrazach
Otoczeniem liczby x o promieniu nazywamy przedział .
Liczbę nazywamy punktem skupienia zbioru , jeżeli w każdym otoczeniu punktu leżą punkty zbioru A, różne od . nie musi być elementem zbioru A)
Liczbę nazywamy punktem izolowanym zbioru A, jeżeli nie jest punktem skupienia zbioru A. Mówimy, że jest punktem skupienia zbioru A, jeżeli w każdym przedziale (odpowiednio w każdym przedziale ) leżą punkty zbioru A.
Mówimy, że liczba rzeczywista g jest granicą ciągu , jeżeli spełnia warunek

O ciągu, który posiada granicę w sensie powyższej definicji, mówimy, że jest zbieżny, a fakt, że g jest granicą ciągu zapisujemy Ciąg, który nie ma granicy w sensie powyższej definicji, nazywamy rozbieżnym.
Tw. 1 Ciąg ma granicę wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym otoczeniu liczby g leżą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.
Wynika stąd, że* każdy ciąg może posiadać co najwyżej jedną granicę, *każdy ciąg zbieżny jest ograniczony,*ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego podciąg jest zbieżny do tej samej granicy, *ciąg , zawierający dwa podciągi zbieżne do różnych granic (lub zawierający podciąg rozbieżny), jest rozbieżny, *jeżeli prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają nierówność oraz , to ,
2 ciągi, różniące się skończoną ilością wyrazów, albo są jednocześnie rozbieżne, albo jednocześnie zbieżne do tej samej granicy.
Tw. 2 Jeżeli ciągi i są zbieżne odpowiednio do granic a i b, to zbieżne są ciągi oraz , , / oraz
Tw. 3 (o trzech ciągach) Jeżeli wyrazy ciągów , , spełniają dla prawie wszystkich n nierówności oraz ciągi i są zbieżne do tej samej granicy g, to ciąg jest również zbieżny do g.
W szczególności, jeżeli ciąg jest ograniczony, a ciąg jest zbieżny do 0, to ciąg jest zbieżny do 0.
Tw. 4 Każdy ciąg niemalejący i ograniczony z góry (nierosnący i ograniczony z dołu) jest zbieżny.
Wśród ciągów rozbieżnych ważną rolę odgrywają tzw. ciągi rozbieżne do lub do .
Mówimy, że ciąg jest rozbieżny do (jest rozbieżny do ), jeżeli spełnia następujący warunek

Fakt ten zapisujemy odpowiednio . Granice ciągu nazywamy granicami niewłaściwymi ciągu.

Podobne prace

Do góry